Exercice 9.26
Mines-Ponts MP 2006
Soient (a, b) une famille libre de E et u l’endomorphisme de E défini par
u(x) = (a | x) b.
1) Déterminer u
∗ .
2) Soit f = u + u
∗ . Que dire de f ? Trouver ses éléments propres. Déterminer le
maximum de {(x | f (x)) | |x = 1}.
1) Pour tout (x, y) ∈ E
2 , on a (u(x) | y) = (a | x)(b | y). On note v l’endomorphisme
de E défini par v(x) = (b | x) a. On a alors tout (x, y) ∈ E
2 , (u(x) | y) = (x | v(y)).
On en déduit par unicité de l’adjoint que u
∗ = v.
2) L’endomorphisme f est autoadjoint. Soit F le plan Vect(a, b). La restriction de f
à F
⊥ est nulle. Etudions la restriction f 1 de f à F. Dans la base (a, b) de F (non
orthonormale a priori), la matrice de f 1 est égale à
(a | b) (b | b)
(a | a) (a | b)
. Ses valeurs
propres sont égales à (a | b) ±
(a | a)(b | b).
Retrouvons cela par une autre méthode. On pose a 1 =
a
a
et b 1 =
b
b
. Les
vecteurs a 1 et b 1 sont unitaires. On pose cos u = (a 1 | b 1 ).
On a f (x) = a b
(a 1 | x)b 1 + (b 1 | x)a 1
. On en déduit que :
f (a 1 + b 1 ) = a b(1 + cos u)(a 1 + b 1 ) = ((a | b) + a b)(a 1 + b 1 )
f (a 1 − b 1 ) = a b(−1 + cos u)(a 1 − b 1 ) = ((a | b) − −a b)(a 1 − b 1 )
On retrouve que les valeurs propres de f sont 0 et (a | b) ± ±a b, et on obtient
les espaces propres qui sont F
⊥ pour la valeur propre 0, et les bissectrices des
droites engendrées par a et b dans le plan F pour les deux valeurs propres simples.
Le maximum de (x | f (x)) quand x décrit la sphère unité est la plus grande valeur
propre de f , c’est-à-dire (a | b) + a b.
Exercice 9.27
Mines-Ponts-Ponts MP 2007
Si A est une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres
complexes de A ?
Indication de la rédaction : s’intéresser à
t X AX.
Soient l une valeur propre complexe de A et X =
t
(x 1 , . . . , x n ) un vecteur colonne
non nul de C
n tel que AX = lX . L’idée consiste à calculer
t X AX de deux
manières différentes. En transposant, on obtient −
t X A = l
t X , d’où en conjuguant
−
t X A = l
t X , ce qui donne
t X AX = −l
t X X.
Mines-Ponts MP 2006
Soient (a, b) une famille libre de E et u l’endomorphisme de E défini par
u(x) = (a | x) b.
1) Déterminer u
∗ .
2) Soit f = u + u
∗ . Que dire de f ? Trouver ses éléments propres. Déterminer le
maximum de {(x | f (x)) | |x = 1}.
1) Pour tout (x, y) ∈ E
2 , on a (u(x) | y) = (a | x)(b | y). On note v l’endomorphisme
de E défini par v(x) = (b | x) a. On a alors tout (x, y) ∈ E
2 , (u(x) | y) = (x | v(y)).
On en déduit par unicité de l’adjoint que u
∗ = v.
2) L’endomorphisme f est autoadjoint. Soit F le plan Vect(a, b). La restriction de f
à F
⊥ est nulle. Etudions la restriction f 1 de f à F. Dans la base (a, b) de F (non
orthonormale a priori), la matrice de f 1 est égale à
(a | b) (b | b)
(a | a) (a | b)
. Ses valeurs
propres sont égales à (a | b) ±
(a | a)(b | b).
Retrouvons cela par une autre méthode. On pose a 1 =
a
a
et b 1 =
b
b
. Les
vecteurs a 1 et b 1 sont unitaires. On pose cos u = (a 1 | b 1 ).
On a f (x) = a b
(a 1 | x)b 1 + (b 1 | x)a 1
. On en déduit que :
f (a 1 + b 1 ) = a b(1 + cos u)(a 1 + b 1 ) = ((a | b) + a b)(a 1 + b 1 )
f (a 1 − b 1 ) = a b(−1 + cos u)(a 1 − b 1 ) = ((a | b) − −a b)(a 1 − b 1 )
On retrouve que les valeurs propres de f sont 0 et (a | b) ± ±a b, et on obtient
les espaces propres qui sont F
⊥ pour la valeur propre 0, et les bissectrices des
droites engendrées par a et b dans le plan F pour les deux valeurs propres simples.
Le maximum de (x | f (x)) quand x décrit la sphère unité est la plus grande valeur
propre de f , c’est-à-dire (a | b) + a b.
Exercice 9.27
Mines-Ponts-Ponts MP 2007
Si A est une matrice antisymétrique réelle, que peut-on dire des valeurs propres
complexes de A ?
Indication de la rédaction : s’intéresser à
t X AX.
Soient l une valeur propre complexe de A et X =
t
(x 1 , . . . , x n ) un vecteur colonne
non nul de C
n tel que AX = lX . L’idée consiste à calculer
t X AX de deux
manières différentes. En transposant, on obtient −
t X A = l
t X , d’où en conjuguant
−
t X A = l
t X , ce qui donne
t X AX = −l
t X X.