D’autre part,
t X AX =
t X lX = l
t X X. Or
t X X =
n
k=1
|x k |
2 > 0 car X est non nul.
En simplifiant par cette expression, on obtient finalement que l = −l, donc l est
nul ou imaginaire pur.
Exercice 9.28
Polytechnique MP 2005
Soit S une matrice symétrique réelle. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les valeurs propres de S pour que S soit le carré d’une matrice
antisymétrique réelle.
• Soit A une matrice antisymétrique telle que S = A
2 . On note u et v les endomorphismes représentés par S et A dans la base canonique de R
n . Soient l une valeur
propre de u et E l l’espace propre associé. Soit x un vecteur propre de u associé à
l. On a l(x | x) = (u(x) | x) = (v(x) | v
∗ (x)) = −(v(x) | v(x)) 0, d’où l 0.
Supposons l < 0. Comme v
2 = u, E l est stable par v. Notons v l la restriction
de v à E l , on a alors v
2
l = l Id E l , d’où (det v l )
2 = det(l Id E l ) = l
dim E l . On en
déduit que l
dim E l > 0, donc dim E l est paire.
• Supposons que les valeurs propres de S soient négatives et que les espaces
propres associées aux valeurs propres non nulles soient de dimension paire. En
groupant par deux les valeurs propres non nulles, et en appliquant le théorème
fondamental, il existe une matrice P orthogonale et des réels a 1 , . . . , a p tels que
P
−1 S P = diag(−a
2
1 I 2 , . . . , −a
2
p I 2 , 0 . . . , 0). Notons J a la matrice 2 × 2 égale à
0 −a
a
0
et A = P diag(J a 1 , . . . , J a p , 0 . . . , 0). Etant donné que J
2
a = −a
2 I 2 , on
a A
2 = S et A est antisymétrique.
La condition nécessaire et suffisante cherchée est donc que les valeurs propres de S
soient négatives et que les valeurs propres non nulles aient un ordre de multiplicité
paire.
Exercice 9.29
Mines-Ponts MP 2005, Polytechnique MP 2007, inégalité de Hadamard
Soit A ∈ GL n (R). Montrer qu’il existe un couple (P, T ) avec P orthogonale
et T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que A = PT .
En déduire une majoration de | det A| en fonction des normes de ses vecteurs
colonnes.
Soient B 0 la base canonique de R
n muni de son produit scalaire canonique, et
B = (e 1 , . . . , e n ) la famille des vecteurs colonnes de A, qui forme une base de R
n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
t X AX =
t X lX = l
t X X. Or
t X X =
n
k=1
|x k |
2 > 0 car X est non nul.
En simplifiant par cette expression, on obtient finalement que l = −l, donc l est
nul ou imaginaire pur.
Exercice 9.28
Polytechnique MP 2005
Soit S une matrice symétrique réelle. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les valeurs propres de S pour que S soit le carré d’une matrice
antisymétrique réelle.
• Soit A une matrice antisymétrique telle que S = A
2 . On note u et v les endomorphismes représentés par S et A dans la base canonique de R
n . Soient l une valeur
propre de u et E l l’espace propre associé. Soit x un vecteur propre de u associé à
l. On a l(x | x) = (u(x) | x) = (v(x) | v
∗ (x)) = −(v(x) | v(x)) 0, d’où l 0.
Supposons l < 0. Comme v
2 = u, E l est stable par v. Notons v l la restriction
de v à E l , on a alors v
2
l = l Id E l , d’où (det v l )
2 = det(l Id E l ) = l
dim E l . On en
déduit que l
dim E l > 0, donc dim E l est paire.
• Supposons que les valeurs propres de S soient négatives et que les espaces
propres associées aux valeurs propres non nulles soient de dimension paire. En
groupant par deux les valeurs propres non nulles, et en appliquant le théorème
fondamental, il existe une matrice P orthogonale et des réels a 1 , . . . , a p tels que
P
−1 S P = diag(−a
2
1 I 2 , . . . , −a
2
p I 2 , 0 . . . , 0). Notons J a la matrice 2 × 2 égale à
0 −a
a
0
et A = P diag(J a 1 , . . . , J a p , 0 . . . , 0). Etant donné que J
2
a = −a
2 I 2 , on
a A
2 = S et A est antisymétrique.
La condition nécessaire et suffisante cherchée est donc que les valeurs propres de S
soient négatives et que les valeurs propres non nulles aient un ordre de multiplicité
paire.
Exercice 9.29
Mines-Ponts MP 2005, Polytechnique MP 2007, inégalité de Hadamard
Soit A ∈ GL n (R). Montrer qu’il existe un couple (P, T ) avec P orthogonale
et T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs tel que A = PT .
En déduire une majoration de | det A| en fonction des normes de ses vecteurs
colonnes.
Soient B 0 la base canonique de R
n muni de son produit scalaire canonique, et
B = (e 1 , . . . , e n ) la famille des vecteurs colonnes de A, qui forme une base de R
n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit