1) La réponse est NON. En effet, la matrice A =
1 2
2 1
est symétrique à coefficients strictement positifs et ses valeurs propres sont égales à −1 et 3.
2) On remarque que 2
1i< jn
l i l j = (
n
i=1
l i )
2
−
n
i=1
l
2
i , ce qui nous amène à
considérer les traces de A et de A
2 . En partant de la définition de la trace, on
a tr A =
n
i=1
a i,i et tr(A
2 ) =
n
j=1
( A
2 ) j, j =
1i, jn
a
2
i, j .
En diagonalisant A, on obtient tr A =
n
i=1
l i et tr( A
2 ) =
n
i=1
l
2
i .
En combinant les deux, on obtient :
2
1i< jn
l i l j = (
n
i=1
a i,i )
2
−
1i, jn
a
2
i, j = 2
1i< jn
(a i,i a j, j − a
2
i, j ) .
3) Soit q la forme quadratique représentée par A dans la base canonique
B = (e 1 , . . . , e n ) de R
n . Comme les valeurs propres de A sont positives, la
forme quadratique q est positive. Soit P le plan vectoriel engendré par (e i , e j )
et q
la restriction de q à P. La matrice de q
dans la base (e i , e j ) est égale à
A
=
a i,i a i, j
a i, j a j, j
. Comme q
est également positive, les valeurs propres de A
sont positives, donc det A
0, c’est-à-dire a i,i a j, j a
2
i, j .
Exercice 9.25
CCP MP 2006
Soit A ∈ M n (R) symétrique positive. Montrer que (det A)
1
n
tr A
n
.
Soient l 1 , . . . , l n les valeurs propres de A, positives par hypothèse. On sait que
det A =
n
i=1
l i et tr A =
n
i=1
l i .
• Si det A = 0, l’inégalité est évidente.
• Si det A > 0, alors ∀i , l i > 0. Par convexité de l’exponentielle, on a
exp(
1
n
n
i=1
x i )
1
n
n
i=1
exp x i . On choisit alors x i = ln l i pour tout i, ce qui
donne finalement (det A)
1
n
tr A
n
.
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