Chap. 9. Espaces euclidiens
• En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à y et z dans R
n , on obtient que
n
k=1
y k z k
2
n
k=1
y
2
k
n
k=1
z
2
k , c’est-à-dire
n
k=1
x
2
k
2
n
k=1
l k x
2
k
n
k=1
x
2
k
l k
, d’où
x
4
(u(x) | x) (u
−1 (x) | x).
• Si l’inégalité précédente est une égalité pour un certain vecteur x non nul, alors les
vecteurs y et z sont colinéaires. Comme les réels l k sont non nuls, il existe un réel
a tel que ∀k,
l k x k = a
x k
l k
, d’où (a − l k )x k = 0, donc il existe j ∈ [[1 , n]] tel
que a = l j . On en déduit que pour tout k tel que l k = l j , on a x k = 0, autrement
dit x est un vecteur propre de u.
Inversement, si u(x) = lx, alors u
−1 (x) =
1
l
x, donc x
4 = (u(x) | x) (u
−1 (x) | x)
Exercice 9.23
Mines-Ponts MP 2006
On pose pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n , Q a (x 1 , . . . , x n ) =
n
i=1
x
2
i − a
n
i=1
x i
2
.
A quelle condition sur le réel a la forme quadratique Q a est-elle définie positive ?
La matrice M de Q a dans la base canonique de R
n a tous ses coefficients diagonaux
égaux à 1 − a et non diagonaux égaux à −a.
• Si a = 0, alors M = I n , donc Q 0 est définie positive.
• Si a = 0, alors M − I n est de rang 1 et M est diagonalisable, donc 1 est
valeur propre de M d’ordre n − 1. Soit X le vecteur colonne
t
(1, . . . , 1), on a
M X = (1 − na)X , donc la dernière valeur propre est 1 − na. La forme quadratique Q a est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de M sont
strictement positives, c’est-à-dire a < 1/n.
Exercice 9.24
Centrale PC 2007
1) Les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle dont tous les coefficients
sont positifs sont-elles positives ?
2) Soit A ∈ S n (R) de valeurs propres l 1 , . . . , l n . Montrer que :
1i< jn
l i l j =
1i< jn
(a i,i a j, j − a i, j )
2 .
3) On suppose que les valeurs propres de A sont positives. Montrer que
∀(i, j) ∈ [[1 , n]]
2 , a i,i a j, j a
2
i, j .
• En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à y et z dans R
n , on obtient que
n
k=1
y k z k
2
n
k=1
y
2
k
n
k=1
z
2
k , c’est-à-dire
n
k=1
x
2
k
2
n
k=1
l k x
2
k
n
k=1
x
2
k
l k
, d’où
x
4
(u(x) | x) (u
−1 (x) | x).
• Si l’inégalité précédente est une égalité pour un certain vecteur x non nul, alors les
vecteurs y et z sont colinéaires. Comme les réels l k sont non nuls, il existe un réel
a tel que ∀k,
l k x k = a
x k
l k
, d’où (a − l k )x k = 0, donc il existe j ∈ [[1 , n]] tel
que a = l j . On en déduit que pour tout k tel que l k = l j , on a x k = 0, autrement
dit x est un vecteur propre de u.
Inversement, si u(x) = lx, alors u
−1 (x) =
1
l
x, donc x
4 = (u(x) | x) (u
−1 (x) | x)
Exercice 9.23
Mines-Ponts MP 2006
On pose pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n , Q a (x 1 , . . . , x n ) =
n
i=1
x
2
i − a
n
i=1
x i
2
.
A quelle condition sur le réel a la forme quadratique Q a est-elle définie positive ?
La matrice M de Q a dans la base canonique de R
n a tous ses coefficients diagonaux
égaux à 1 − a et non diagonaux égaux à −a.
• Si a = 0, alors M = I n , donc Q 0 est définie positive.
• Si a = 0, alors M − I n est de rang 1 et M est diagonalisable, donc 1 est
valeur propre de M d’ordre n − 1. Soit X le vecteur colonne
t
(1, . . . , 1), on a
M X = (1 − na)X , donc la dernière valeur propre est 1 − na. La forme quadratique Q a est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de M sont
strictement positives, c’est-à-dire a < 1/n.
Exercice 9.24
Centrale PC 2007
1) Les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle dont tous les coefficients
sont positifs sont-elles positives ?
2) Soit A ∈ S n (R) de valeurs propres l 1 , . . . , l n . Montrer que :
1i< jn
l i l j =
1i< jn
(a i,i a j, j − a i, j )
2 .
3) On suppose que les valeurs propres de A sont positives. Montrer que
∀(i, j) ∈ [[1 , n]]
2 , a i,i a j, j a
2
i, j .