• Si (a | b) = 0, alors ce polynôme est scindé à racines simples, donc g est diagonalisable.
• Si (a | b) = 0, alors g
2 = 0 et g = 0, donc g n’est pas diagonalisable.
Exercice 9.21
Centrale MP 2006
Soit E un espace euclidien de dimension 3. Caractériser les éléments s ∈ SO(E)
pour lesquels il existe x ∈ E \ {0} tel que s(x), x = 0.
On rappelle que les éléments de SO(E) sont les rotations, et que si s est la rotation
d’axe dirigé par le vecteur unitaire e et d’angle u, alors on a :
∀x ∈ E, s(x) = (cos u)x + (sin u)e ∧ x + (1 − cos u)e, xe .
On en déduit que s(x), x = cos ux, x + (1 − cos u)e, x
2 .
• Si cos u > 0, alors s(x), x > 0 pour tout x non nul.
• Supposons cos u 0. Soit u un vecteur unitaire orthogonal à e. Pour t ∈
0, p/2
,
posons x(t) = u cos t + e sin t et w(t) = s(x(t)), x(t) = cos u + (1 − cos u) sin
2 t.
La fonction w est continue sur
0, p/2
et on a w(0) = cos u 0, w(p/2) = 1,
donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe t ∈
0, p/2
tel que
w(t) = 0 c’est-à-dire s(x(t)), x(t) = 0 où x(t) est un vecteur unitaire.
Les rotations qui conviennent sont celles d’angle u vérifiant cos u 0. Comme la
trace d’une rotation d’angle u est égale à 1 + 2 cos u (expression matricielle dans une
base adaptée), la condition obtenue s’écrit également tr s 1.
Exercice 9.22
Mines-Ponts MP 2007
Soit u un endomorphisme de E symétrique défini positif. Montrer que, pour tout
x ∈ E, x
4
(u(x) | x) (u
−1 (x) | x). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité.
Soit (´ 1 , . . . , ´ n ) une base orthonormale de vecteurs propres de u, et l 1 , . . . , l n les
valeurs propres associées, strictement positives par hypothèse. Soit x =
n
k=1
x k ´ k un
vecteur de E. On a (u(x) | x) =
n
k=1
l k x
2
k et (u
−1 (x) | x) =
n
k=1
x
2
k
l k
.
On pose y k =
l k x k et z k =
x k
l k
pour k ∈ [[1 , n]].
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