Chap. 9. Espaces euclidiens
9.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 9.17
CCP MP 2005
Soit E = R n [X ] muni du produit scalaire (P | Q) =
n
k=0
P
(k) (0)Q
(k) (0). Soit u
l’endomorphisme de E défini par u(P) = P
. Déterminer l’adjoint de u.
Le polynôme A = u
∗ (P) est caractérisé par la propriété :
∀Q ∈ E, ( A | Q) = (P | Q
),
c’est-à-dire
n
k=0
A
(k) (0)Q
(k) (0) =
n
k=0
P
(k) (0)Q
(k+2) (0) =
n
k=2
P
(k−2) (0)Q
(k) (0).
En prenant successivement pour Q les polynômes de la base canonique de E, on
obtient A(0) = 0, A
(0) = 0 et A
(k) (0) = P
(k−2) (0) pour k ∈ [[2 , n]]. On en déduit
par la formule de Taylor que :
u
∗ (P) =
n
k=2
P
(k−2) (0)
k!
X
k .
Exercice 9.18
CCP MP 2005
Soient u 1 , . . . , u p ∈ L(E) autoadjoints tels que rg u 1 + · · · + rg u p = n et
∀x ∈ E,
p
i=1
u i (x), x = x, x.
1) Montrer que u 1 + · · · + u p = Id E .
2) Montrer que E =
p
i=1
Im u i .
3) Montrer que si i = j, alors u i ◦ u j = 0 et calculer u
2
j .
4) Reconnaître les endomorphismes u i .
1) Soit v l’endomorphisme
p
i=1
u i −Id E . Par hypothèse, on a ∀x ∈ E, v(x), x = 0,
donc d’après l’exercice 9.2 page 249, v
∗ = −v. Or les endomorphismes u i sont
autoadjoints, donc v également, d’où finalement v = 0.