On voit que q(0, 1, 1) = 0 donc q est positive, mais n’est pas définie positive.
Exercice 9.16
Mines-Ponts MP 2005
Soit q la forme quadratique définie sur R
3 par :
q(x, y, z) = 13x
2 + 13y
2 + 10z
2 + 8x y + 4xz + 4yz .
Déterminer le maximum de q sur la sphère unité de R
3 . Trouver une base orthonormale de R
3 (pour le produit scalaire canonique) dans laquelle q soit décomposée en carrés.
Notons M la matrice de q dans la base canonique de R
3 . On a M =
⎛
⎝
13 4 2
4 13 2
2 2 10
⎞
⎠ .
Calculons le polynôme caractéristique de M : x M (l) = det(M − lI 3 ).
x M (l) = (13 − l)(l
2
− 23l + 126) − 4(−4l + 36) + 2(2l − 18)
= (13 − l)(l − 9)(l − 14) + 20(l − 9)
= (9 − l)(l
2
− 27l + 162) = −(l − 9)
2 (l − 18).
Le maximum de q sur la sphère unité est la plus grande valeur propre de M, donc
18. Déterminons l’espace propre Ker(M − 18I 3 ) :
M X = 18X ⇐⇒
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−5x + 4y + 2z = 0
4x − 5y + 2z = 0
2x + 2y − 8z = 0
⇐⇒
x = y
x + y = 4z
⇐⇒ x = y = 2z
On a Ker(M − 18I 3 ) = R´ 1 avec ´ 1 =
1
3
t
(2, 2, 1). Comme M est symétrique, ses
espaces propres sont orthogonaux, donc
Ker(M − 9I 3 ) = {(x, y, z) ∈ R
3
| 2x + 2y + z = 0}.
Une base orthonormale de ce plan vectoriel est (´ 2 , ´ 3 ), avec ´ 2 =
1
√
2
t
(−1, 1, 0) et
´ 3 = ´ 1 ∧ ´ 2 =
1
3
√
2
t
(−1, −1, 4). La famille B = (´ 1 , ´ 2 , ´ 3 ) est une base orthonormale de R
3 et pour tout v ∈ R
3 s’écrivant sous la forme x 1 ´ 1 + x 2 ´ 2 + x 3 ´ 3 , on a
q(v) = 18x
2
1 + 9x
2
2 + 9x
2
3 .
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