Exercice 9.13
Centrale MP 2007
Soit A ∈ M n (R) telle que
t A A = A
t A. On suppose qu’il existe p ∈ N
∗ tel que
A
p = 0.
1) Montrer que
t A A = 0.
2) En déduire que A = 0.
1) Comme A commute avec sa transposée, on a (
t A A)
p = (
t A)
p A
p = 0. On en déduit
que toutes les valeurs propres de
t A A sont nulles. Or cette matrice est symétrique
donc diagonalisable, on en déduit qu’elle est nulle.
2) On sait que tr(
t A A) =
1i, jn
a
2
i j , donc cette somme est nulle, ce qui entraîne que
tous ses termes sont nuls, donc que A est nulle.
Exercice 9.14
CCP et Mines-Ponts MP 2006
Si M ∈ S n (R) vérifie M
p = I n avec p ∈ N
∗ , que vaut M
2 ?
La matrice M est diagonalisable donc il existe P ∈ O n (R) et des réels l 1 , . . . , l n tels
que M = P diag(l 1 , . . . , l n )P
−1 . L’égalité M
p = I n entraîne que ∀i, l
p
i = 1, donc
l i ∈ {−1, 1}, d’où l
2
i = 1, ce qui donne immédiatement que M
2 = P I n P
−1 = I n .
Exercice 9.15
TPE MP 2005
Pour (x, y, z) ∈ R
3 , on pose q(x, y, z) = 11x
2 + 3y
2 + 3z
2
− 10x y + 10xz − 6yz.
La forme quadratique q est-elle définie positive ?
La matrice de la forme quadratique q dans la base canonique de R
3 est égale à
⎛
⎝
11 −5
5
−5
3 −3
5 −3
3
⎞
⎠ . On vérifie que son déterminant est nul, donc l’une de ses valeurs
propres est nulle, ce qui entraîne que q n’est pas définie positive.
Autre méthode :
On a
q(x, y, z) = 11(x −
5
11
y +
5
11
z)
2 +
8
11
y
2 +
8
11
z
2
−
16
11
yz
= 11(x −
5
11
y +
5
11
z)
2 +
8
11
(y − z)
2
0.