9.1.3 Réduction des endomorphismes autoadjoints
Ce qu’il faut savoir
• Théorème fondamental : Soit u un endomorphisme autoadjoint de E. Alors
u est diagonalisable et ses espaces propres sont orthogonaux (on dit que u est
diagonalisable dans une base orthonormale).
Ce théorème est parfois appelé théorème spectral.
• Version matricielle : Si A est une matrice symétrique réelle, alors il existe une
matrice P orthogonale telle que P
−1 AP soit diagonale.
• Soient u un endomorphisme autoadjoint de E et (´ 1 , . . . , ´ n ) une base orthonormale de vecteurs propres de u, pour les valeurs propres l 1 , . . . , l n . Soit x ∈ E,
se décomposant sous la forme x =
n
i=1
x i ´ i . Alors (u(x) | x) =
n
i=1
l i x
2
i .
• Soient u un endomorphisme autoadjoint de E et Sp u l’ensemble de ses valeurs
propres. Alors on a :
sup
x=1
(u(x) | x) = max Sp u ,
inf
x=1
(u(x) | x) = min Sp u .
• Un endomorphisme autoadjoint est positif (resp. défini positif) si et seulement
si ses valeurs propres sont positives (resp. strictement positives).
• Soit w une forme bilinéaire symétrique, alors il existe une base orthonormale
(´ 1 , . . . , ´ n ) et des réels l 1 , . . . , l n tels que pour tout (x, y) ∈ E
2 tel que
x =
n
i=1
x i ´ i et y =
n
i=1
y i ´ i , on a w(x, y) =
n
i=1
l i x i y i .
Exercice 9.12
CCP et Mines-Ponts MP 2005
Soit A = (a i, j ) 1i, jn une matrice symétrique réelle de valeurs propres
l 1 , . . . , l n . Prouver que
1i, jn
a
2
i, j =
1kn
l
2
k .
Il s’agit de calculer la trace de A
2 de deux manières différentes. En utilisant le produit scalaire usuel de M n (R), on sait que
1i, jn
a
2
i, j = tr(
t A A) = tr(A
2 ) car A est
symétrique. En diagonalisant A, on obtient que A
2 est semblable à la matrice diagonale diag(l
2
1 , . . . , l
2
n ). Comme la trace est invariante par changement de base, on en
déduit tr( A
2 ) =
n
k=1
l
2
k , d’où l’égalité demandée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit