Exercice 9.10
Mines-Ponts MP 2006
Soit f ∈ L(E). Montrer que deux quelconques des trois propriétés suivantes
entraînent la troisième :
(i) f ∈ O(E).
(ii) f
2 = − Id E .
(iii) f (x) est orthogonal à x pour tout x ∈ E.
La propriété (i) s’écrit f
∗
◦ f = Id E et la propriété (iii) équivaut à f
∗ = − f
(voir exercice 9.2 page 249), donc si (i) et (ii) sont vraies, alors en composant la
relation f
∗
◦ f = Id E par f à droite, on obtient − f
∗ = f , donc (iii) est vraie. Le
raisonnement est le même pour les autres implications.
Exercice 9.11
CCP MP 2005
Soit E euclidien et u ∈ O(E). Pour k ∈ N
∗ , on pose v k =
1
k
k−1
j=0
u
j .
• Montrer que (Im(Id E −u))
⊥ = Ker(Id E −u).
• Montrer que la suite (v k ) converge vers le projecteur orthogonal sur Ker(Id E −u).
• Comme u est orthogonal, (Id E −u)
∗ = Id E −u
−1 = −u
−1 (Id E −u). Or u
−1 est
inversible, donc
Ker(Id E −u)
∗ = Ker(Id E −u), c’est-à-dire (Im(Id E −u))
⊥ = Ker(Id E −u).
• Examinons la restriction de v k à Ker(Id E −u) et à son orthogonal.
Si x ∈ Ker(Id E −u), alors u(x) = x, donc ∀k ∈ N
∗ , u
k (x) = x, d’où v k (x) = x.
Si x ∈ Im(Id E −u), alors il existe y ∈ E tel que x = y − u(y), d’où
u
j (x) = u
j (y) − u
j+1 (y), d’où v k (x) =
x − u
k (x)
k
, donc
v k (x)
2x
k
−−−→
k→∞
0.
On en déduit que v k converge vers le projeté orthogonal sur Ker(u − Id E ).