Soit X un vecteur colonne de R
n tel que (I n + A)X = 0. En faisant le produit scalaire
canonique par X , on obtient −(X | X ) = ( AX | X ). Or (AX | X ) = 0 car A est
antisymétrique, donc X = 0. Cela prouve que I n + A est inversible.
La transposition commute avec le passage à l’inverse, donc
t B =
t
(I n − A)
t
(I n + A)
−1 ,
d’où
t B = (I n + A)(I n − A)
−1 , or I n + A commute avec I n − A donc avec son inverse,
d’où
t B B = I n , donc B est orthogonale.
On a det B =
det(I n − A)
det(I n + A)
, or det(I n + A) = det
t
(I n + A) = det(I n − A), d’où
det B = 1, donc B ∈ SO n (R).
Exercice 9.8
Mines-Ponts MP 2006
Soient u ∈ E non nul et g ∈ O(E). On note s la symétrie orthogonale par
rapport à l’hyperplan (Ru)
⊥ . Décrire l’endomorphisme g ◦ s ◦ g
−1 .
Posons h = g ◦ s ◦ g
−1 . On a s(u) = −u, donc h(g(u)) = −g(u).
Soit x ∈ E tel que (x | g(u)) = 0, on a (g
−1 (x) | u) = 0, d’où s(g
−1 (x)) = g
−1 (x),
donc h(x) = x. On en conclut que h est la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplan (Rg(u))
⊥ , car les deux endomorphismes coïncident sur la droite engendrée
par g(u) et sur son orthogonal.
Exercice 9.9
TPE MP 2006, Mines-Ponts MP 2006
L’espace M n (R) est muni du produit scalaire usuel défini par X , Y = tr(
t XY ).
1) Soit f A l’endomorphisme de M n (R) défini par : ∀X ∈ M n (R), f A (X ) = AX.
Calculer l’adjoint de f A pour ce produit scalaire.
2) A quelle condition f A est-il une isométrie (c’est-à-dire f
∗
A ◦ f A = Id) ?
1) Il est logique de penser que ft A pourrait être l’adjoint de f A , nous allons le montrer. Pour tout (X , Y ) ∈ M n (R)
2 , on a :
f A (X ), Y = tr(
t
( AX)Y ) = tr(
t X
t AY ) = X , ft A (Y ) .
On en déduit que f
∗
A = ft A
2) On constate que f A ◦ f B = f AB . L’endomorphisme f A est orthogonal si et
seulement si (f A )
∗
◦ f A = Id E , c’est-à-dire ft A A = Id E , ce qui est équivalent à
t A A = I n , c’est-à-dire A orthogonale.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
n tel que (I n + A)X = 0. En faisant le produit scalaire
canonique par X , on obtient −(X | X ) = ( AX | X ). Or (AX | X ) = 0 car A est
antisymétrique, donc X = 0. Cela prouve que I n + A est inversible.
La transposition commute avec le passage à l’inverse, donc
t B =
t
(I n − A)
t
(I n + A)
−1 ,
d’où
t B = (I n + A)(I n − A)
−1 , or I n + A commute avec I n − A donc avec son inverse,
d’où
t B B = I n , donc B est orthogonale.
On a det B =
det(I n − A)
det(I n + A)
, or det(I n + A) = det
t
(I n + A) = det(I n − A), d’où
det B = 1, donc B ∈ SO n (R).
Exercice 9.8
Mines-Ponts MP 2006
Soient u ∈ E non nul et g ∈ O(E). On note s la symétrie orthogonale par
rapport à l’hyperplan (Ru)
⊥ . Décrire l’endomorphisme g ◦ s ◦ g
−1 .
Posons h = g ◦ s ◦ g
−1 . On a s(u) = −u, donc h(g(u)) = −g(u).
Soit x ∈ E tel que (x | g(u)) = 0, on a (g
−1 (x) | u) = 0, d’où s(g
−1 (x)) = g
−1 (x),
donc h(x) = x. On en conclut que h est la symétrie orthogonale par rapport à l’hyperplan (Rg(u))
⊥ , car les deux endomorphismes coïncident sur la droite engendrée
par g(u) et sur son orthogonal.
Exercice 9.9
TPE MP 2006, Mines-Ponts MP 2006
L’espace M n (R) est muni du produit scalaire usuel défini par X , Y = tr(
t XY ).
1) Soit f A l’endomorphisme de M n (R) défini par : ∀X ∈ M n (R), f A (X ) = AX.
Calculer l’adjoint de f A pour ce produit scalaire.
2) A quelle condition f A est-il une isométrie (c’est-à-dire f
∗
A ◦ f A = Id) ?
1) Il est logique de penser que ft A pourrait être l’adjoint de f A , nous allons le montrer. Pour tout (X , Y ) ∈ M n (R)
2 , on a :
f A (X ), Y = tr(
t
( AX)Y ) = tr(
t X
t AY ) = X , ft A (Y ) .
On en déduit que f
∗
A = ft A
2) On constate que f A ◦ f B = f AB . L’endomorphisme f A est orthogonal si et
seulement si (f A )
∗
◦ f A = Id E , c’est-à-dire ft A A = Id E , ce qui est équivalent à
t A A = I n , c’est-à-dire A orthogonale.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit