Exercice 9.6
CCP, Centrale, Mines-Ponts MP 2006 et 2007
Soit A = (a i, j ) 1i, jn une matrice orthogonale. Démontrer que :
1)
1i, jn
a
2
i, j = n.
2)
1i, jn
a i, j
n.
Indication de la rédaction : considérer (AV | V ), où V =
t
(1, . . . , 1).
3) n
1i, jn
|a i, j | n
√
n.
1) Le coefficient ( j, j) de la matrice
t A A est égal à
n
i=1
a
2
i, j . Comme
t A A = I n , on
en déduit que ∀ j ∈ [[1 , n]],
n
i=1
a
2
i, j = 1, donc en sommant sur j variant de 1 à
n, on a
1i, jn
a
2
i, j = n.
2) Soit V le vecteur colonne
t
(1, . . . , 1). La i
ème coordonnée de AV est égale
à
n
j=1
a i, j , donc
1i, jn
a i, j = (AV | V ). Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
1i, jn
a i, j
AV V = V
2 = n.
3) Comme a i, j ∈ [ −1, 1 ] , on sait que a
2
i, j |a i, j |. En sommant pour i et j variant
de 1 à n, on obtient
1i, jn
|a i, j |
1i, jn
a
2
i, j = n d’après la première question.
Par inégalité de Cauchy-Schwarz dans R
(n
2 ) , on a :
1i, jn
|a i, j |
1i, jn
a
2
i, j
1i, jn
1 = n
1i, jn
a
2
i, j = n
√
n .
Exercice 9.7
CCP PSI 2007
Soit A ∈ M n (R) antisymétrique. Montrer que I n + A est inversible. On pose
B = (I n + A)
−1 (I n − A). Montrer que B est orthogonale. Calculer det B.