9.1.2 Endomorphismes orthogonaux
Ce qu’il faut savoir
• Un endomorphisme u de E est dit orthogonal lorsqu’il conserve le produit
scalaire, c’est-à-dire ∀(x, y) ∈ E
2 , (u(x) | u(y)) = (x | y).
• L’endomorphisme u est orthogonal si et seulement si u
∗
◦ u = Id E (c’est-à-dire
que u est inversible et u
∗ = u
−1 ).
• L’endomorphisme u est orthogonal si et seulement si l’image par u d’une base
orthonormale est une base orthonormale.
• On note O(E) l’ensemble des automorphismes orthogonaux. Muni de la loi ◦,
O(E) est un sous-groupe de GL(E), appelé groupe orthogonal.
• Si u ∈ O(E), alors det u = ±1. On note SO(E) le sous-groupe de O(E) formé
des éléments de déterminant égal à 1, appelé groupe spécial orthogonal.
• Une matrice M ∈ M n (R) est orthogonale lorsque l’endomorphisme de R
n
canoniquement associé à M est orthogonal. Cela est équivalent à l’une des propositions suivantes :
(i) les colonnes de M forment une base orthonormale de R
n .
(ii) la matrice vérifie la relation
t
M M = M
t
M = I n .
L’ensemble des matrices orthogonales de R
n est noté O n (R). C’est un groupe
multiplicatif, appelé groupe orthogonal.
• Caractérisation matricielle des endomorphismes orthogonaux : l’endomorphisme u est orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale quelconque de E est orthogonale.
• Changement de bases orthonormales : si B et B
sont deux bases orthonormales de E, alors la matrice de passage de la base B à la base B
est une matrice
orthogonale.
• Endomorphismes orthogonaux particuliers :
◦ Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle :
symétrie orthogonale par rapport à F, la symétrie par rapport à F dans
la direction F
⊥ .
réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan (son
déterminant vaut alors −1).
◦ Lorsque dim E = 2, une rotation de E est un endomorphisme orthogonal de déterminant 1. Sa matrice dans toute base orthonormale s’écrit
cos u − sin u
sin u
cos u
où u ∈ R.
◦ Lorsque dim E = 3, une rotation de E est un endomorphisme orthogonal u
de déterminant 1. Dans une base orthonormale dont le premier vecteur est
dans Ker(u − Id E ), sa matrice s’écrit
⎛
⎝
1
0
0
0 cosu − sin u
0 sinu cos u
⎞
⎠ où u ∈ R.
Ce qu’il faut savoir
• Un endomorphisme u de E est dit orthogonal lorsqu’il conserve le produit
scalaire, c’est-à-dire ∀(x, y) ∈ E
2 , (u(x) | u(y)) = (x | y).
• L’endomorphisme u est orthogonal si et seulement si u
∗
◦ u = Id E (c’est-à-dire
que u est inversible et u
∗ = u
−1 ).
• L’endomorphisme u est orthogonal si et seulement si l’image par u d’une base
orthonormale est une base orthonormale.
• On note O(E) l’ensemble des automorphismes orthogonaux. Muni de la loi ◦,
O(E) est un sous-groupe de GL(E), appelé groupe orthogonal.
• Si u ∈ O(E), alors det u = ±1. On note SO(E) le sous-groupe de O(E) formé
des éléments de déterminant égal à 1, appelé groupe spécial orthogonal.
• Une matrice M ∈ M n (R) est orthogonale lorsque l’endomorphisme de R
n
canoniquement associé à M est orthogonal. Cela est équivalent à l’une des propositions suivantes :
(i) les colonnes de M forment une base orthonormale de R
n .
(ii) la matrice vérifie la relation
t
M M = M
t
M = I n .
L’ensemble des matrices orthogonales de R
n est noté O n (R). C’est un groupe
multiplicatif, appelé groupe orthogonal.
• Caractérisation matricielle des endomorphismes orthogonaux : l’endomorphisme u est orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale quelconque de E est orthogonale.
• Changement de bases orthonormales : si B et B
sont deux bases orthonormales de E, alors la matrice de passage de la base B à la base B
est une matrice
orthogonale.
• Endomorphismes orthogonaux particuliers :
◦ Soit F un sous-espace vectoriel de E. On appelle :
symétrie orthogonale par rapport à F, la symétrie par rapport à F dans
la direction F
⊥ .
réflexion toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan (son
déterminant vaut alors −1).
◦ Lorsque dim E = 2, une rotation de E est un endomorphisme orthogonal de déterminant 1. Sa matrice dans toute base orthonormale s’écrit
cos u − sin u
sin u
cos u
où u ∈ R.
◦ Lorsque dim E = 3, une rotation de E est un endomorphisme orthogonal u
de déterminant 1. Dans une base orthonormale dont le premier vecteur est
dans Ker(u − Id E ), sa matrice s’écrit
⎛
⎝
1
0
0
0 cosu − sin u
0 sinu cos u
⎞
⎠ où u ∈ R.