2) La question 1) entraîne que
p
i=1
Im u i = E,
donc n = dim
p
i=1
Im u i
p
i=1
dim Im u i = n par hypothèse. On en déduit que
cette inégalité est une égalité, donc la somme des Im u i est directe.
3) Soit x ∈ E. En appliquant la formule du 1) en u j (x), on obtient :
u j (x) =
p
i=1
u i (u j (x)).
Comme la somme des Im u i est directe, il en résulte que pour tout x ∈ E,
u j (x) = u j (u j (x)) et 0 = u i (u j (x)) pour i = j, d’où u
2
j = u j et u i ◦ u j = 0 pour
i = j.
4) Comme u i est autoadjoint, pour tout (x, y) ∈ E
2 et i = j, on a u i (x), u j (y)
= x, (u i ◦ u j )(y) = 0, donc Im u i est orthogonal à Im u j . Comme Im u i et
j =1
Im u j sont supplémentaires, on en déduit que u i est le projecteur orthogonal
sur Im u i .
Exercice 9.19
CCP MP 2006
Montrer que les déterminants suivants sont strictement positifs :
1) det(a i, j ) 1i, jn où a i, j =
p
2
0
sin(it) sin( jt) dt.
Indication de la rédaction : on montrera que la famille de fonctions
(t → sin kt, 1 k n) est libre.
2) det
e
i+ j
− 1
i + j
1i, jn
1) Soit A = (a i j ) 1i, jn et q la forme quadratique représentée par A dans la base
canonique de R
n . Comme det A est le produit des valeurs propres de A, il suffit
de montrer que q est définie positive pour conclure que det A > 0.
• On a q(x) =
1i, jn
a i j x i x j =
p
2
0
n
k=1
x k sin kt
2
dt 0 pour tout x ∈ R
n .
• Montrons par récurrence sur n que les fonctions (t → sin kt, 1 k n)
forment une famille libre. C’est évident pour n = 1. Supposons que
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