9 Espaces euclidiens
9.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Dans toute la suite du chapitre, sauf indication contraire, E désigne un espace
euclidien de dimension n.
9.1.1 Adjoint d’un endomorphisme
Ce qu’il faut savoir
• Soit u un endomorphisme de E. Il existe un unique endomorphisme de E noté
u
∗ , appelé adjoint de u, tel que ∀(x, y) ∈ E
2 , (u
∗ (x) | y) = (x | u(y)). Si A est
la matrice de u dans une base orthonormale, alors
t A est la matrice de u
∗ dans
cette base.
• Propriétés de l’adjoint :
◦ L’application u → u
∗ est un endomorphisme de L(E). Si u et v appartiennent
à L(E), alors (u
∗ )
∗ = u et (u ◦ v)
∗ = v
∗
◦ u
∗ .
◦ Si F est un sous-espace vectoriel stable par u, alors F
⊥ est stable par u
∗ .
◦ Ker u
∗ = (Im u)
⊥ , Im u
∗ = (Ker u)
⊥ .
◦ Les endomorphismes u et u
∗ ont même rang, même déterminant, même
trace, même polynôme caractéristique.
• On dit que u est autoadjoint (ou symétrique) lorsque u
∗ = u.
L’endomorphisme u est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans une base
orthonormale est symétrique.
• On dit que u est antisymétrique lorsque u
∗ = −u.
L’endomorphisme u est antisymétrique si et seulement si sa matrice dans une
base orthonormale est antisymétrique.
• On note S n (R) (resp. A n (R)) l’ensemble des matrices réelles symétriques (resp.
antisymétriques) d’ordre n. On a S n (R) ⊕ A n (R) = M n (R).
• Si w est une forme bilinéaire symétrique sur E, alors il existe un unique endomorphisme autoadjoint u tel que ∀(x, y) ∈ E
2 , w(x, y) = (u(x) | y). Sa matrice
dans toute base orthonormale est égale à celle de w.
• L’endomorphisme autoadjoint u est dit positif (resp. défini positif) lorsque la
forme bilinéaire symétrique associée à u est positive (resp. définie positive).