donc si k n − 2, alors X L k ∈ R n−1 [X ] d’où X L n , L k = 0. En remplaçant, on
obtient :
X L n = a n L n+1 + b n L n + c n L n
avec a n = X L n , L n+1 , b n = X L n , L n et c n = X L n , L n−1 . Comme le coefficient dominant de L n est égal à (−1)
n /n!, le polynôme n!X L n + (n + 1)!L n+1
est de degré inférieur ou égal à n, donc son produit scalaire par L n+1 est nul, d’où
n!a n + (n + 1)! = 0, d’où a n = −(n + 1).
4) La fonction f a appartient à E si et seulement si x → e
−(2a+1)x est intégrable sur
R + , c’est-à-dire a > −1/2.
On a d’une part f a , f a =
+∞
0
e
−(2a+1)x dx =
1
2a + 1
et d’autre part :
n! f a , L n =
+∞
0
e
−ax d
n
dx
n (x
n e
−x ) dx
=
e
−ax d
n−1
dx
n−1
(x
n e
−x )
+∞
0
+ a
+∞
0
e
−ax d
n−1
dx
n−1
(x
n e
−x ) dx
en intégrant par parties. Le premier crochet est nul. En poursuivant les intégrations
par parties, de la même façon qu’à la question 2), on obtient :
n! f a , L n = a
n
+∞
0
e
−ax x
n e
−x dx.
Après le changement de variables t = (a + 1)x, on aboutit à :
a
n
(a + 1)
n+1
+∞
0
t
n e
−t dt.
Cette dernière intégrale a été calculée plus haut et vaut n!, d’où
f a , L n =
a
n
(a + 1)
n+1
.
On en déduit que
+∞
n=0
f a , L n
2
− − f a , f a =
1
(a + 1)
2
∞
n=0
a
a + 1
2n −
1
2a + 1
=
1
(a + 1)
2
1
1 −
a
2
(a + 1)
2
−
1
2a + 1
= 0.
Par conséquent, d( f a , R n [X ]) −−−→
n→∞
0, autrement dit f a appartient à l’adhérence
de R[X ] dans E muni de la norme préhilbertienne étudiée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit