4) Pour a ∈ R, soit f a : x → e
−ax . A quelle condition a-t-on f a ∈ E ? Cette
condition étant supposée réalisée, calculer
+∞
n=0
f a , L n
2
− − f a , f a . Que peuton en conclure ?
1) Si P ∈ R[X ], alors lim
x→+∞
x
2 P(x)
2 e
−x = 0, donc x → P
2 (x)e
−x est intégrable
sur R
+ . En utilisant la formule de Leibniz, on obtient :
L n (x) =
e
x
n!
n
k=0
n
k
(−1)
k e
−x n(n − 1) · · · (k + 1)x
k =
n
k=0
(−1)
k
n!
(k!)
2 (n − k)!
x
k .
On en déduit que L n est une fonction polynomiale de degré n, de coefficient dominant (−1)
n /n! et de terme constant égal à 1.
2) On remarque que pour p n, L n , X
p
=
1
n!
+∞
0
x
p d
n
dx
n (e
−x x
n )dx. Posons
pour k et j entiers naturels tels que j k n, I k, j =
+∞
0
x
j d
k
dx
k
(e
−x x
n )dx. En
intégrant par parties, on obtient pour j 1, I k, j =
d
k−1
dx
k−1
(e
−x x
n )x
j
+∞
0
−j I k−1, j−1 .
Le crochet a pour limite 0 en +∞ et est nul en 0 car il reste une puissance de x
quand on dérive k − 1 fois e
−x x
n . On en déduit que I k, j = − j I k−1, j−1 , donc par
récurrence, I n, p = (−1)
p p!I n− p,0 = (−1)
p p!
+∞
0
d
n− p
dx
n− p (e
−x x
n ) dx.
Si p < n, alors I n, p = 0 car la dérivée (n − p − 1)
ème de e
−x x
n s’annule en 0 et
tend vers 0 en +∞.
Si p = n, alors I n,n = (−1)
n n!J n , où J n =
+∞
0
e
−x x
n dx. En intégrant par
parties, on obtient J n =
−e
−x x
n
+∞
0
+ n
+∞
0
e
−x x
n−1 dx = n J n−1 . On en
déduit par récurrence J n = n!J 0 = n!, d’où I n,n = (−1)
n (n!)
2 . Cela entraîne que
pour tout p < n, L n , X
p
= 0, donc par linéarité, L n est orthogonal à R n−1 [X ],
et en particulier à L p pour tout p < n. Comme le coefficient dominant de L n est
(−1)
n
n!
, on a L n , L n =
(−1)
n
n!
L n , X
n
=
(−1)
n
(n!)
2
I n,n = 1. On a bien montré que
(L n ) n∈N est une famille orthonormale de E.
3) Comme X L n est de degré n + 1 et que (L k ) 0kn+1 est une base orthonormale de
R n+1 [X ], on a X L n =
n+1
k=0
X L n , L k L k . On remarque que
X L n , L k = L n , X L k ,