p(x) x, donc p est continue et N ( p) 1.
p n ( p n (x)) − p( p(x)) p n ( p n (x)) − p n ( p(x)) + p n ( p(x)) − p( p(x))
p n (x) − p(x) + p n ( p(x)) − p( p(x)) .
Chacun de ces deux termes tend vers 0, car
p n (x) → p(x) et p n ( p(x)) → p( p(x)).
Or p n ( p n (x)) = p n (x), donc on obtient en passant à la limite que
p( p(x)) = p(x),
donc p est un projecteur. Si p est non nul, alors d’après la question 3 et l’inégalité N ( p) 1, on obtient N ( p) = 1, donc p est un projecteur orthogonal
(et cela reste vrai si p = 0).
• Soit E un espace préhilbertien de dimension infinie, contenant une famille
orthonormale (e n ) n∈N telle que F = Vect{e n | n ∈ N} soit dense dans E.
Posons F n = Vect{e k | k ∈ [[0 , n]]} pour tout n et p F n le projecteur orthogonal sur F n , qui existe puisque F n est de dimension finie. Comme la famille
(e k ) est orthonormale, on a p F n (x) =
n
k=0
e k , xx. Posons p n = Id E − p F n ,
on observe que p n est le projecteur orthogonal sur F
⊥
n , donc p n est non nul.
D’après l’identité de Parseval, p n (x)
2 = x
2
−
n
k=0
e k , x
2
−−−→
n→∞
0, donc
la suite ( p n ) converge simplement vers 0.
Exercice 8.23
Centrale MP 2007, Mines-Ponts MP 2007, Polytechnique MP 2005
Soit E l’espace des fonctions continues f de R
+ dans R telles que x → f (x)
2 e
−x
soit intégrable sur R + . On munit E du produit scalaire défini par :
∀( f , g) ∈ E
2 , f , g =
+∞
0
f (x)g(x)e
−x dx
Pour n ∈ N, soit L n la fonction x →
e
x
n!
d
n
dx
n (e
−x x
n ) définie sur R
+ .
1) Justifier que E contient les fonctions polynomiales et que L n est une fonction
polynomiale de degré n dont on indiquera le coefficient dominant et le terme
constant.
2) Montrer que (L n ) n∈N est une famille orthonormale de E.
3) Soit n ∈ N
∗ . Montrer qu’il existe (a n , b n , c n ) ∈ R
3 tels que :
X L n = a n L n+1 + b n L n + c n L n−1 . Déterminer a n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
p n ( p n (x)) − p( p(x)) p n ( p n (x)) − p n ( p(x)) + p n ( p(x)) − p( p(x))
p n (x) − p(x) + p n ( p(x)) − p( p(x)) .
Chacun de ces deux termes tend vers 0, car
p n (x) → p(x) et p n ( p(x)) → p( p(x)).
Or p n ( p n (x)) = p n (x), donc on obtient en passant à la limite que
p( p(x)) = p(x),
donc p est un projecteur. Si p est non nul, alors d’après la question 3 et l’inégalité N ( p) 1, on obtient N ( p) = 1, donc p est un projecteur orthogonal
(et cela reste vrai si p = 0).
• Soit E un espace préhilbertien de dimension infinie, contenant une famille
orthonormale (e n ) n∈N telle que F = Vect{e n | n ∈ N} soit dense dans E.
Posons F n = Vect{e k | k ∈ [[0 , n]]} pour tout n et p F n le projecteur orthogonal sur F n , qui existe puisque F n est de dimension finie. Comme la famille
(e k ) est orthonormale, on a p F n (x) =
n
k=0
e k , xx. Posons p n = Id E − p F n ,
on observe que p n est le projecteur orthogonal sur F
⊥
n , donc p n est non nul.
D’après l’identité de Parseval, p n (x)
2 = x
2
−
n
k=0
e k , x
2
−−−→
n→∞
0, donc
la suite ( p n ) converge simplement vers 0.
Exercice 8.23
Centrale MP 2007, Mines-Ponts MP 2007, Polytechnique MP 2005
Soit E l’espace des fonctions continues f de R
+ dans R telles que x → f (x)
2 e
−x
soit intégrable sur R + . On munit E du produit scalaire défini par :
∀( f , g) ∈ E
2 , f , g =
+∞
0
f (x)g(x)e
−x dx
Pour n ∈ N, soit L n la fonction x →
e
x
n!
d
n
dx
n (e
−x x
n ) définie sur R
+ .
1) Justifier que E contient les fonctions polynomiales et que L n est une fonction
polynomiale de degré n dont on indiquera le coefficient dominant et le terme
constant.
2) Montrer que (L n ) n∈N est une famille orthonormale de E.
3) Soit n ∈ N
∗ . Montrer qu’il existe (a n , b n , c n ) ∈ R
3 tels que :
X L n = a n L n+1 + b n L n + c n L n−1 . Déterminer a n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit