2) Montrer que si Ker p et Im p sont complets, alors E est complet.
3) Montrer que N ( p) 1.
4) Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si N ( p) = 1.
5) ÃÃ
• Montrer qu’une limite simple de projecteurs orthogonaux est un projecteur
orthogonal.
• Donner un exemple d’une suite de projecteurs orthogonaux non nuls qui
possède une limite simple nulle.
Indication de la rédaction : on utilisera l’identité de Bessel-Parseval suivante : soit (e n ) n∈N une famille orthonormale de E et F = Vect{e n | n ∈ N}.
Si F est dense dans E, alors pour tout x ∈ E, on a x
2 =
∞
n=0
e n , x
2 .
1) On a Ker p = p
−1 ({0}) et Im p = ( p − Id E )
−1 ({0}) car p est un projecteur. Or
les endomorphismes p et p − Id E sont continus et le singleton {0} est fermé, donc
Ker p et Im p sont fermés.
2) Soit (x n ) une suite de Cauchy dans E. Comme p est continu, on a ∀(m, n) ∈ N
2 ,
p(x n ) − p(x m ) N ( p)x n − x m , donc ( p(x n )) est une suite de Cauchy dans
Im p qui est complet, donc elle converge vers un élément y ∈ Im p. Par différence,
la suite (x n − p(x n )) est également de Cauchy dans Ker p qui est complet, donc
converge vers un élément z ∈ Ker p. On en déduit que la suite (x n ) converge vers
y + z, ce qui démontre que E est complet.
3) Comme p est non nul, il existe un vecteur y non nul appartenant à Im p, d’où
p(y) = y. Or N ( p) = sup
x =0
p(x)
x
, d’où N ( p) 1.
4) • Si p est un projecteur orthogonal, alors ∀x ∈ E, x
2 = p(x)
2 +x − p(x)
2 ,
donc p(x) x. Avec la question précédente, on en déduit que N ( p) = 1.
• On suppose N ( p) = 1, c’est-à-dire ∀x ∈ E, p(x) x. Soient x ∈ Im p
et y ∈ Ker p. On a ∀t ∈ R, p(x + t y) = x, d’où x + t y
2
x
2 , c’est-à-dire
t(ty
2 + 2x, y) 0. On en déduit que pour tout t > 0, ty
2 + 2x, y 0,
d’où en faisant tendre t vers 0, on obtient x, y 0. Pour tout t < 0,
ty
2 + 2x, y 0, d’où x, y 0 en faisant tendre t vers 0. En conclusion, x, y = 0, donc p est un projecteur orthogonal.
5) • Soit ( p n ) une suite de projecteurs orthogonaux qui converge simplement vers p.
Comme p n est linéaire, on a ∀(a, x, y) ∈ R× E
2 , p n (ax + y) = a p n (x)+ p n (y).
En faisant tendre n vers +∞, on conclut que p est linéaire.
On a pour tout x ∈ E, p n (x) x, d’où en faisant tendre n vers +∞,
3) Montrer que N ( p) 1.
4) Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si N ( p) = 1.
5) ÃÃ
• Montrer qu’une limite simple de projecteurs orthogonaux est un projecteur
orthogonal.
• Donner un exemple d’une suite de projecteurs orthogonaux non nuls qui
possède une limite simple nulle.
Indication de la rédaction : on utilisera l’identité de Bessel-Parseval suivante : soit (e n ) n∈N une famille orthonormale de E et F = Vect{e n | n ∈ N}.
Si F est dense dans E, alors pour tout x ∈ E, on a x
2 =
∞
n=0
e n , x
2 .
1) On a Ker p = p
−1 ({0}) et Im p = ( p − Id E )
−1 ({0}) car p est un projecteur. Or
les endomorphismes p et p − Id E sont continus et le singleton {0} est fermé, donc
Ker p et Im p sont fermés.
2) Soit (x n ) une suite de Cauchy dans E. Comme p est continu, on a ∀(m, n) ∈ N
2 ,
p(x n ) − p(x m ) N ( p)x n − x m , donc ( p(x n )) est une suite de Cauchy dans
Im p qui est complet, donc elle converge vers un élément y ∈ Im p. Par différence,
la suite (x n − p(x n )) est également de Cauchy dans Ker p qui est complet, donc
converge vers un élément z ∈ Ker p. On en déduit que la suite (x n ) converge vers
y + z, ce qui démontre que E est complet.
3) Comme p est non nul, il existe un vecteur y non nul appartenant à Im p, d’où
p(y) = y. Or N ( p) = sup
x =0
p(x)
x
, d’où N ( p) 1.
4) • Si p est un projecteur orthogonal, alors ∀x ∈ E, x
2 = p(x)
2 +x − p(x)
2 ,
donc p(x) x. Avec la question précédente, on en déduit que N ( p) = 1.
• On suppose N ( p) = 1, c’est-à-dire ∀x ∈ E, p(x) x. Soient x ∈ Im p
et y ∈ Ker p. On a ∀t ∈ R, p(x + t y) = x, d’où x + t y
2
x
2 , c’est-à-dire
t(ty
2 + 2x, y) 0. On en déduit que pour tout t > 0, ty
2 + 2x, y 0,
d’où en faisant tendre t vers 0, on obtient x, y 0. Pour tout t < 0,
ty
2 + 2x, y 0, d’où x, y 0 en faisant tendre t vers 0. En conclusion, x, y = 0, donc p est un projecteur orthogonal.
5) • Soit ( p n ) une suite de projecteurs orthogonaux qui converge simplement vers p.
Comme p n est linéaire, on a ∀(a, x, y) ∈ R× E
2 , p n (ax + y) = a p n (x)+ p n (y).
En faisant tendre n vers +∞, on conclut que p est linéaire.
On a pour tout x ∈ E, p n (x) x, d’où en faisant tendre n vers +∞,