Exercice 8.21
Mines-Ponts MP 2005
On pose E n = {P ∈ R[X ] | ∀Q ∈ R n [X ],
1
0
P(t)Q(t) dt = 0}.
1) Montrer que E n est un espace vectoriel.
2) Montrer qu’il existe un unique polynôme P dans R n+1 [X ] unitaire appartenant
à E n .
3) Ã Montrer que P n’a que des racines simples et réelles, appartenant toutes à
l’intervalle ] 0, 1 [ .
1) On munit R[X ] de son produit scalaire usuel, défini par (P | Q) =
1
0
P(t)Q(t) dt.
On constate alors que E n = R n [X ]
⊥ , c’est donc un sous-espace vectoriel de R[X ].
2) Comme R n [X ] est un sous-espace de R[X ] de dimension finie (égale à n + 1), on
sait que R[X ] = R n [X ]
⊥
⊕ E n . Un polynôme P vérifie la propriété demandée si et
seulement si P ∈ E n et X
n+1
− P ∈ R n [X ], donc P est le projeté orthogonal de
X
n+1 sur E n . Il est de degré n + 1.
3) Notons r le nombre de racines d’ordre de multiplicité impaire de P appartenant
à l’intervalle ] 0, 1 [ et supposons r n. Si on note a 1 , . . . , a r ces racines,
alors on peut écrire P =
r
k=1
(X − a k ) B, où B est un polynôme non constant
de signe constant sur ] 0, 1 [ . Comme P ∈ E n , (P |
r
k=1
(X − a k )) = 0, d’où
1
0
r
k=1
(t − a k )
2 B(t) dt = 0. Or la fonction intégrée est continue sur ] 0, 1 [ et
garde un signe constant, donc elle est nulle sur ] 0, 1 [ , ce qui signifie que le polynôme
r
k=1
(X − a k )
2 B possède une infinité de racines, donc c’est le polynôme nul,
d’où B = 0 ce qui est absurde. Il en résulte que r = n + 1, or P est de degré n + 1,
donc possède exactement n + 1 racines simples dans ] 0, 1 [ , et n’en a pas d’autre.
Exercice 8.22
Centrale MP 2007
Soit E un espace préhilbertien réel. On note N la norme dans L C (E) subordonnée
à celle de E. Soit p un projecteur continu et non nul de E.
1) Montrer que Ker p et Im p sont fermés.
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