Remarque
Cet exercice illustre le fait que l’application A → →A,·· de R[X ] dans son dual n’est
pas un isomorphisme. En effet, la forme linéaire P → P(0) ne peut pas s’écrire
sous la forme A,··. Ce résultat n’est pas en contradiction avec le cours car R[X ]
est de dimension infinie.
8.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 8.20
Centrale MP 2007, Mines-Ponts MP 2006
On munit E = C([0, 1], R) du produit scalaire ( f , g) → → f , g =
1
0
f (t)g(t) dt.
1) Montrer l’existence et l’unicité de A n ∈ R n [X ] tel que :
∀P ∈ R n [X ], P(0) = A n , P.
2) Montrer que A n est scindé sur R et possède n racines simples dans ] 0, 1 [ .
1) Puisque R n [X ] est de dimension finie, l’application A → →A, · · est un isomorphisme de R n [X ] sur son dual, or l’application d : P → P(0) est une forme
linéaire sur R n [X ], donc il existe un unique polynôme A n ∈ R n [X ] tel que
d = A n , · ·, c’est-à-dire pour tout P ∈ R[X ], P(0) = A n , P.
2) Le polynôme A n n’est pas nul car la forme linéaire d n’est pas nulle. Notons r le
nombre de racines d’ordre de multiplicité impaire de A n appartenant à l’intervalle
] 0, 1 [ et supposons r n − 1. Si on note a 1 , . . . , a r ces racines, alors on peut
écrire A n =
r
k=1
(X − a k ) B, où B est un polynôme non nul de signe constant sur
] 0, 1 [ . Par définition de A n , on a pour tout P ∈ R n−1 [X ], X P, A n = 0, donc
en particulier pour P =
r
k=1
(X − a k ), ce qui donne
1
0
t
r
k=1
(t − a k )
2 B(t) dt = 0.
Or la fonction intégrée est continue sur ] 0, 1 [ et garde un signe constant, donc
elle est nulle sur ] 0, 1 [ , ce qui signifie que le polynôme
r
k=1
(X − a k )
2 B possède
une infinité de racines, donc c’est le polynôme nul, d’où B = 0 ce qui est absurde.
On en déduit que r = n, donc A n admet n racines d’ordre impair dans ] 0, 1 [ , or
il est de degré inférieur ou égal à n, il est donc exactement de degré n et possède
n racines simples dans l’intervalle ] 0, 1 [ .
Cet exercice illustre le fait que l’application A → →A,·· de R[X ] dans son dual n’est
pas un isomorphisme. En effet, la forme linéaire P → P(0) ne peut pas s’écrire
sous la forme A,··. Ce résultat n’est pas en contradiction avec le cours car R[X ]
est de dimension infinie.
8.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 8.20
Centrale MP 2007, Mines-Ponts MP 2006
On munit E = C([0, 1], R) du produit scalaire ( f , g) → → f , g =
1
0
f (t)g(t) dt.
1) Montrer l’existence et l’unicité de A n ∈ R n [X ] tel que :
∀P ∈ R n [X ], P(0) = A n , P.
2) Montrer que A n est scindé sur R et possède n racines simples dans ] 0, 1 [ .
1) Puisque R n [X ] est de dimension finie, l’application A → →A, · · est un isomorphisme de R n [X ] sur son dual, or l’application d : P → P(0) est une forme
linéaire sur R n [X ], donc il existe un unique polynôme A n ∈ R n [X ] tel que
d = A n , · ·, c’est-à-dire pour tout P ∈ R[X ], P(0) = A n , P.
2) Le polynôme A n n’est pas nul car la forme linéaire d n’est pas nulle. Notons r le
nombre de racines d’ordre de multiplicité impaire de A n appartenant à l’intervalle
] 0, 1 [ et supposons r n − 1. Si on note a 1 , . . . , a r ces racines, alors on peut
écrire A n =
r
k=1
(X − a k ) B, où B est un polynôme non nul de signe constant sur
] 0, 1 [ . Par définition de A n , on a pour tout P ∈ R n−1 [X ], X P, A n = 0, donc
en particulier pour P =
r
k=1
(X − a k ), ce qui donne
1
0
t
r
k=1
(t − a k )
2 B(t) dt = 0.
Or la fonction intégrée est continue sur ] 0, 1 [ et garde un signe constant, donc
elle est nulle sur ] 0, 1 [ , ce qui signifie que le polynôme
r
k=1
(X − a k )
2 B possède
une infinité de racines, donc c’est le polynôme nul, d’où B = 0 ce qui est absurde.
On en déduit que r = n, donc A n admet n racines d’ordre impair dans ] 0, 1 [ , or
il est de degré inférieur ou égal à n, il est donc exactement de degré n et possède
n racines simples dans l’intervalle ] 0, 1 [ .