Une matrice symétrique A est dite positive lorsque l’endomorphisme autoadjoint qu’elle représente dans une base orthonormale est positif.
Notation : S
+
n (resp. S
++
n ) désigne l’ensemble des matrices symétriques positives (resp. définies positives).
Exercice 9.1
TPE MP 2007
Soit f ∈ L(E). On pose u = f
∗
◦ f .
1) Démontrer que u est autoadjoint positif.
2) Montrer que si f est inversible, alors u est défini positif.
3) Montrer que Ker u = Ker f et Im u = Im f
∗ .
1) On a u
∗ = f
∗
◦ ( f
∗ )
∗ = u donc u est autoadjoint. Pour tout x ∈ E, on a
(u(x) | x) = ( f (x) | f (x)) 0, donc u est positif.
2) Soit x ∈ E tel que (u(x) | x) = 0. On a alors ( f (x) | f (x)) = 0, c’est-à-dire
f (x) = 0, d’où x = 0 car f est bijective, donc u est défini positif.
3) Si f (x) = 0, alors u(x) = f
∗ ( f (x)) = 0.
Si u(x) = 0, alors (x | u(x)) = 0, d’où ( f (x) | f (x)) = 0, donc f (x) = 0. Il en
résulte que Ker u = Ker f .
Comme u est autoadjoint, Im u = Im u
∗ = (Ker u)
⊥ = (Ker f )
⊥ = Im f
∗ .
Exercice 9.2
CCP MP 2006
Soit u ∈ L(E) tel que ∀x ∈ E, (u(x) | x) = 0.
Démontrer que u
∗ = −u, puis que Ker u = (Im u)
⊥ .
Soit (x, y) ∈ E
2 . En appliquant l’hypothèse en x, y et x + y, on obtient :
0 = (u(x) + u(y) | x + y) = (u(x) | x) + (u(x) | y) + (x | u(y)) + (u(y) | y) .
0 = 0 + (u(x) | y) + (x | u(y)) + 0 = (u(x) | y) + (x | u(y)) .
Par unicité de l’adjoint, on en déduit que u
∗ = −u. On a alors
Ker u = Ker u
∗ = (Im u)
⊥ .
Exercice 9.3
CCP MP 2005
Soit f ∈ L(E) tel que Im f ⊂ Ker f . Montrer que Ker( f + f
∗ ) = Ker f ∩ Ker f
∗ .
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