et sur
b + c
2
, c
. On observe que f ∈ F et que le produit f g est nul sur
[ −1, 1 ] \ [ b, c ] et strictement positif sur ] b, c [ , donc f , g > 0, d’où
g /
∈ F
⊥ . Finalement, on a montré que F
⊥ = G.
3) Soit f ∈ E telle que f (0) = 0. On construit deux fonctions g et h en posant
∀x ∈ [ −1, 0 ] , g(x) = f (x), h(x) = 0
∀x ∈ [ 0, 1 ] ,
g(x) = 0,
h(x) = f (x)
. Les fonctions g et h sont
continues sur [ −1, 1 ] car f est continue et f (0) = 0, donc g ∈ F et
h ∈ G = F
⊥ .
Inversement si f ∈ F et g ∈ F
⊥ , alors f (0) = 0 et g(0) = 0 donc ( f + g)(0) = 0.
Il en résulte que F + F
⊥ = { f ∈ E | f (0) = 0}. On observe que F + F
⊥
= E,
ce qui n’est pas en contradiction avec le cours car F est de dimension infinie.
4) Soit P l’ensemble des fonctions polynomiales, et f ∈ P
⊥ . Par théorème de
Weierstrass, il existe une suite (P n ) de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f sur [ −1, 1 ] . Or P n f − f
2
∞ f ∞ P n − f ∞ , donc
1
−1
(P n (x) f (x) − f (x)
2 ) dx
2 f ∞ P n − f ∞ −→
n→+∞
0.
Or
1
−1
P n (x) f (x) dx = 0, d’où en faisant tendre n vers l’infini, on obtient que
1
−1
f (x)
2 dx = 0 d’où f = 0 par continuité de f . On en déduit que P
⊥ = {0}.
Exercice 8.17
Mines-Ponts MP 2005
On munit M n (R) du produit scalaire rendant orthonormale la base canonique
(E i, j ) 1i, jn , et on note · · la norme associée.
1) Verifier que ∀(M, N ) ∈ M n (R)
2 , (M | N ) = tr(
t
M N ).
2) Soient I la matrice identité de M n (R) et J la matrice de M n (R) dont tous les
coefficients sont égaux à 1. Si M ∈ M n (R), calculer inf
(a,b)∈R 2
M − a I − b J .
1) Soient M = (m i, j ) et N = (n i, j ) appartenant à M n (R).
Comme M =
1i, jn
m i, j E i, j et N =
1i, jn
n i, j E i, j et que (E i, j ) 1i, jn est
orthonormale, on a (M | N ) =
1i, jn
m i, j n i, j . Or le terme d’indice ( j, j) de
t
M N est égal à
n
i=1
m i, j n i, j , donc (M | N ) = tr(
t
M N ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
b + c
2
, c
. On observe que f ∈ F et que le produit f g est nul sur
[ −1, 1 ] \ [ b, c ] et strictement positif sur ] b, c [ , donc f , g > 0, d’où
g /
∈ F
⊥ . Finalement, on a montré que F
⊥ = G.
3) Soit f ∈ E telle que f (0) = 0. On construit deux fonctions g et h en posant
∀x ∈ [ −1, 0 ] , g(x) = f (x), h(x) = 0
∀x ∈ [ 0, 1 ] ,
g(x) = 0,
h(x) = f (x)
. Les fonctions g et h sont
continues sur [ −1, 1 ] car f est continue et f (0) = 0, donc g ∈ F et
h ∈ G = F
⊥ .
Inversement si f ∈ F et g ∈ F
⊥ , alors f (0) = 0 et g(0) = 0 donc ( f + g)(0) = 0.
Il en résulte que F + F
⊥ = { f ∈ E | f (0) = 0}. On observe que F + F
⊥
= E,
ce qui n’est pas en contradiction avec le cours car F est de dimension infinie.
4) Soit P l’ensemble des fonctions polynomiales, et f ∈ P
⊥ . Par théorème de
Weierstrass, il existe une suite (P n ) de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f sur [ −1, 1 ] . Or P n f − f
2
∞ f ∞ P n − f ∞ , donc
1
−1
(P n (x) f (x) − f (x)
2 ) dx
2 f ∞ P n − f ∞ −→
n→+∞
0.
Or
1
−1
P n (x) f (x) dx = 0, d’où en faisant tendre n vers l’infini, on obtient que
1
−1
f (x)
2 dx = 0 d’où f = 0 par continuité de f . On en déduit que P
⊥ = {0}.
Exercice 8.17
Mines-Ponts MP 2005
On munit M n (R) du produit scalaire rendant orthonormale la base canonique
(E i, j ) 1i, jn , et on note · · la norme associée.
1) Verifier que ∀(M, N ) ∈ M n (R)
2 , (M | N ) = tr(
t
M N ).
2) Soient I la matrice identité de M n (R) et J la matrice de M n (R) dont tous les
coefficients sont égaux à 1. Si M ∈ M n (R), calculer inf
(a,b)∈R 2
M − a I − b J .
1) Soient M = (m i, j ) et N = (n i, j ) appartenant à M n (R).
Comme M =
1i, jn
m i, j E i, j et N =
1i, jn
n i, j E i, j et que (E i, j ) 1i, jn est
orthonormale, on a (M | N ) =
1i, jn
m i, j n i, j . Or le terme d’indice ( j, j) de
t
M N est égal à
n
i=1
m i, j n i, j , donc (M | N ) = tr(
t
M N ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit