Chap. 8. Espaces préhilbertiens
2) Notons F le plan vectoriel engendré par les matrices I n et J . Il s’agit de calculer
la distance de M à F. On vérifie que (I | I ) = tr I = n, (I | J ) = tr J = n,
(J | J ) = tr J
2 = tr(n J ) = n
2 . On en déduit que la famille (
I
√
n
,
J − I
n 2 − n
) est
une base orthonormale de F, donc on a :
p F (M) =
1
n
(I | M)I +
1
n
2
− n
(J − I | M)(J − I ).
On en déduit que :
inf
(a,b)∈R 2
M − a I − b J = d(M, F) =
M 2 − −p F (M) 2
=
(M | M) −
I
√
n
| M
2
−
J − I
√
n 2 − n
| M
2
=
tr( t M M) −
1
n
(tr M) 2 −
1
n 2 − n
(tr(J − I )M) 2 .
Exercice 8.18
Mines-Ponts MP 2007, déterminant de Gram
Soit E un espace euclidien.
1) Soit (v 1 , . . . , v p ) une famille de vecteurs de E. On note G(v 1 , . . . , v p ) la
matrice carrée d’ordre p de terme général (v i | v j ). Montrer que :
- si (v 1 , . . . , v p ) est liée, alors det G(v 1 , . . . , v p ) = 0,
- si (v 1 , . . . , v p ) est libre, alors det G(v 1 , . . . , v p ) > 0.
2) On suppose que la famille (v 1 , . . . , v p ) est libre et on pose F = Vect(v 1 , . . . , v p ).
Montrer que, pour tout x ∈ E, on a d(x, F) =
det G(v 1 , . . . , v p , x)
det G(v 1 , . . . , v p )
.
1) • On suppose (v 1 , . . . , v p ) liée. Il existe un p-uplet (a 1 , . . . , a p ) ∈ R
p non nul
tel que
p
j=1
a j v j = 0. En faisant le produit scalaire par v i , on obtient que, pour
tout i ∈ [[1 , p]],
p
j=1
a j (v i | v j ) = 0, ce qui signifie que les colonnes C j de la
matrice de Gram vérifient la relation de liaison
p
j=1
a j C j = 0, donc que son
déterminant est nul.
• On suppose (v 1 , . . . , v p ) libre et on note F le sous-espace (de dimension
p) engendré par ces vecteurs. Soient (v
1 , . . . , v
p ) une base orthonormale de