Chap. 8. Espaces préhilbertiens
y
x + y
2
+
x − y
2
. En ajoutant les deux inégalités, on obtient finalement :
x + y x + y + x − y 2 max(x + y, x − y) .
2) On se place dans R
2 muni de la norme infinie définie par :
(x 1 , x 2 ) ∞ = sup(|x 1 |, |x 2 |).
On considère x = (1, 0) et y = (0, 1). On a x + y = (1, 1) et x − y = (1, −1),
donc x ∞ + y ∞ = 2 et x + y ∞ = x − y ∞ = 1 donc
2 max(x + y ∞ , x − y ∞ ) = 2.
3) • Soit (x, y) ∈ E
2 . En appliquant la relation de Cauchy-Schwarz dans R
2 aux
vecteurs (1, 1) et (x, y), on obtient x + y
√
2
x 2 + y 2 .
Or 2x
2 + 2y
2 = x + y
2 + x − y
2
2 max(x + y
2 , x − y
2 ), d’où
x + y
√
2 max(x + y, x − y).
• On se place dans R
2 muni du produit scalaire canonique. On choisit de nouveau
x = (1, 0) et y = (0, 1). On a alors x + y = 2, x + y = x − y =
√
2,
donc la constante
√
2 est optimale.
Exercice 8.16
Mines-Ponts MP 2005
On pose E = C([−1, 1], R). On pose, pour f et g dans E,
f , g =
1
−1
f (t)g(t) dt.
1) Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
2) On pose F = { f ∈ E | ∀x ∈ [ 0, 1 ] , f (x) = 0}. Déterminer F
⊥ .
3) Déterminer F + F
⊥ .
4) Déterminer l’orthogonal de l’ensemble des fonctions polynomiales.
1) voir exercice 8.4 page 226.
2) Posons G = { f ∈ E | ∀x ∈ [ −1, 0 ] , f (x) = 0}. On remarque que si f ∈ F
et g ∈ G, alors le produit f g est nul donc f , g = 0, d’où G ⊂ F
⊥ .
Soit g /
∈ G, quitte à changer g en −g, il existe a ∈ [ −1, 0 ] tel que g(a) > 0.
Comme g est continue, il existe un intervalle [ b, c ] ⊂ [ −1, 0 ] tel que b < c
et g > 0 sur [ b, c ] . On définit alors f ∈ E continue affine par morceaux par
∀x ∈ [ −1, 1 ] \ [ b, c ] , f (x) = 0, f (
b + c
2
) = 1, f affine sur
b,
b + c
2