3) Comme la base canonique est orthonormale, on a Q
2 = 1 +
n−1
k=0
|b k |
2 . D’autre
part, Q
2
1
2p
2p
0
M
2 dt = M
2 , d’où M 1. Si M = 1, alors
n−1
k=0
|b k |
2 = 0,
donc tous les b k sont nuls et Q = X
n .
Réciproquement, si Q = X
n , on a bien Q(e
it ) = e
int , d’où M = 1.
8.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 8.14
Centrale MP 2005, 2006
Soient q 1 et q 2 des formes quadratiques sur R
n , q 2 étant définie positive. Montrer
que q 1 /q 2 est bornée sur R
n
\ {0}.
Comme q 2 est définie positive,
√
q 2 est une norme sur R
n .
Notons S = {x ∈ R
n
| q 2 (x) = 1} la sphère unité pour cette norme, S est une partie
fermée bornée de R
n donc compacte. La forme quadratique q 1 étant continue sur R
n ,
elle est bornée et atteint ses bornes sur S, donc il existe deux réels m et M tels que
∀y ∈ S, m q 1 (y) M. Soit x ∈ R
n
\ {0}, le vecteur
x
q 2 (x)
appartient à S,
donc m q 1 (
x
q 2 (x)
) M, d’où m
q 1 (x)
q 2 (x)
M.
Exercice 8.15
Mines-Ponts MP 2006
Soit E un espace vectoriel normé.
1) Montrer que ∀(x, y) ∈ E
2 , x + y 2 max(x + y, x − y).
2) Montrer que l’on peut avoir l’égalité avec x = 0 et y = 0.
3) On suppose désormais que la norme est euclidienne.
• Montrer que ∀(x, y) ∈ E
2 , x + y
√
2 max(x + y, x − y).
• Peut-on améliorer la constante
√
2 ?
1) Soit (x, y) ∈ E
2 . On a x =
x + y
2
+
x − y
2
donc par l’inégalité triangulaire, x
x + y
2
+
x − y
2
. De même, y =
x + y
2
+
y − x
2
donc
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