Chap. 8. Espaces préhilbertiens
On effectue le changement de variable x = tan t (possible car on a l’intégrale
d’une fonction intégrable sur R et t → tan t est un C
1 -difféomorphisme de
] − p/2, p/2[ sur R). On obtient :
( f n | f m ) =
p/2
−p/2
1 + i tan t
1 − i tan t
m−n
dt =
p/2
−p/2
cos t + i sin t
cos t − i sin t
m−n
dt
=
p/2
−p/2
e
2i(m−n)t dt =
e
2i(m−n)t
2i (m − n)
p/2
−p/2
=
e
i(m−n)p
− e
−i(m−n)p
2i(m − n)
=
sin(m − n)p
m − n
= 0.
La famille ( f n ) n∈Z est donc orthogonale. Un calcul semblable dans le cas où
m = n donne
f n
2 =
p/2
−p/2
dt = p.
On peut donc prendre k n =
1
√
p
pour tout n ∈ Z.
Exercice 8.13
Centrale PSI 2006
1) Montrer que l’application f : (P, Q) →
1
2p
2p
0
P(e it )Q(e
it ) dt définit un
produit scalaire hermitien sur C n [X ].
2) Montrer que (1, X , · · · , X
n ) est une base orthonormale de C n [X ].
3) Soit Q = X
n +
n−1
k=0
b k X
k . Calculer Q
2 et en déduire que M = sup
|z|=1
|Q(z)| 1.
Montrer que M = 1 si et seulement si Q = X
n .
1) On vérifie facilement que f est semi-linéaire à gauche et linéaire à droite, et que
∀(P, Q), f (Q, P) = f (P, Q). On a f (P, P) =
1
2p
2p
0
|P(e
it )|
2 dt, qui est
0. Si f (P, P) = 0, alors P est nul sur le cercle unité donc admet une infinité
de racines, donc P = 0. On a bien montré que f est un produit scalaire hermitien
sur C n [X ].
2) Si j = k, alors on a :
f (X
j , X
k ) =
1
2p
2p
0
e
i(k− j)t dt = 0, et f (X
k , X
k ) = 1,
donc (1, X , · · · , X
n ) est une base orthonormale de C n [X ].