Exercice 8.12
TPE MP 2005
1) Montrer que l’application ( f , g) → ( f |g) =
R
f g définit un produit scalaire
hermitien sur l’espace vectoriel E = { f ∈ C
0 (R, C) | | f |
2 intégrable sur R}.
2) Soient n ∈ Z et f n l’application définie sur R par f n (x) =
1 + i x
1 − i x
n
1
√
1 + x 2
.
Vérifier que pour tout n ∈ Z, la fonction f n est dans E. Montrer qu’il existe
une unique suite (k n ) n∈Z de réels strictement positifs tels que (k n f n ) n∈Z soit
une famille orthonormale de E.
1) Même si cela n’est pas explicitement demandé, on commence par montrer que E
est un sous-espace vectoriel de C
0 (R, C). L’ensemble est non vide. Soient f ∈ E
et l ∈ C, il est immédiat que l f est encore continue sur R et que |l f |
2 est
intégrable sur R. Il reste à prouver la stabilité par somme. Soient f et g dans E.
On a | f + g|
2 = | f |
2 + |g|
2 + 2 Re( f g), donc | f + g|
2
| f |
2 + |g|
2 + 2| f g|. On
utilise l’inégalité |2ab| a
2 + b
2 , valable pour tout (a, b) ∈ R
2 , appliquée aux
complexes | f (t)| et |g(t)| (où t ∈ R). Cela donne finalement, pour tout t ∈ R,
| f (t) + g(t)|
2
2(| f (t)|
2 + |g(t)|
2 ) donc | f + g|
2 est intégrable. On a prouvé que
E est un sous-espace vectoriel de C
0 (R, C).
Il faut maintenant justifier l’existence du produit scalaire. Si f et g sont
dans E, alors on a | f g|
1
2
(| f |
2 + |g|
2 ), ce qui prouve l’intégrabilité de
f g sur R. La linéarité à droite est immédiate. Si ( f , g) ∈ E
2 , alors on a
(g| f ) =
R
g f =
R
g f =
R
g f = ( f |g), l’application est hermitienne. Si
f ∈ E, alors ( f | f ) =
R
| f |
2 est un réel positif ou nul et, puisque | f |
2 est
continue et positive sur R, on a ( f | f ) = 0 si et seulement si f est nulle sur R.
L’application donnée est un produit scalaire hermitien.
2) Chacune des fonctions f n est continue sur R à valeurs complexes. Soit n ∈ Z.
Pour x ∈ R, on a |1 + i x| = |1 − i x| et | f n (x)|
2 =
1
1 + x
2
. La fonction | f n |
2
est donc intégrable sur R et f n ∈ E. Pour justifier l’existence de cette suite (k n ),
il suffit de prouver que la famille ( f n ) n∈Z est orthogonale. Comme aucune des
fonctions f n n’est nulle, il suffit de choisir k n =
1
f n
. Soient m et n dans Z et
distincts. On calcule le produit scalaire ( f n | f m ) qui vaut :
+∞
−∞
1 − i x
1 + i x
n
1 + i x
1 − i x
m 1
1 + x
2
dx =
+∞
−∞
1 + i x
1 − i x
m−n 1
1 + x
2
dx.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
TPE MP 2005
1) Montrer que l’application ( f , g) → ( f |g) =
R
f g définit un produit scalaire
hermitien sur l’espace vectoriel E = { f ∈ C
0 (R, C) | | f |
2 intégrable sur R}.
2) Soient n ∈ Z et f n l’application définie sur R par f n (x) =
1 + i x
1 − i x
n
1
√
1 + x 2
.
Vérifier que pour tout n ∈ Z, la fonction f n est dans E. Montrer qu’il existe
une unique suite (k n ) n∈Z de réels strictement positifs tels que (k n f n ) n∈Z soit
une famille orthonormale de E.
1) Même si cela n’est pas explicitement demandé, on commence par montrer que E
est un sous-espace vectoriel de C
0 (R, C). L’ensemble est non vide. Soient f ∈ E
et l ∈ C, il est immédiat que l f est encore continue sur R et que |l f |
2 est
intégrable sur R. Il reste à prouver la stabilité par somme. Soient f et g dans E.
On a | f + g|
2 = | f |
2 + |g|
2 + 2 Re( f g), donc | f + g|
2
| f |
2 + |g|
2 + 2| f g|. On
utilise l’inégalité |2ab| a
2 + b
2 , valable pour tout (a, b) ∈ R
2 , appliquée aux
complexes | f (t)| et |g(t)| (où t ∈ R). Cela donne finalement, pour tout t ∈ R,
| f (t) + g(t)|
2
2(| f (t)|
2 + |g(t)|
2 ) donc | f + g|
2 est intégrable. On a prouvé que
E est un sous-espace vectoriel de C
0 (R, C).
Il faut maintenant justifier l’existence du produit scalaire. Si f et g sont
dans E, alors on a | f g|
1
2
(| f |
2 + |g|
2 ), ce qui prouve l’intégrabilité de
f g sur R. La linéarité à droite est immédiate. Si ( f , g) ∈ E
2 , alors on a
(g| f ) =
R
g f =
R
g f =
R
g f = ( f |g), l’application est hermitienne. Si
f ∈ E, alors ( f | f ) =
R
| f |
2 est un réel positif ou nul et, puisque | f |
2 est
continue et positive sur R, on a ( f | f ) = 0 si et seulement si f est nulle sur R.
L’application donnée est un produit scalaire hermitien.
2) Chacune des fonctions f n est continue sur R à valeurs complexes. Soit n ∈ Z.
Pour x ∈ R, on a |1 + i x| = |1 − i x| et | f n (x)|
2 =
1
1 + x
2
. La fonction | f n |
2
est donc intégrable sur R et f n ∈ E. Pour justifier l’existence de cette suite (k n ),
il suffit de prouver que la famille ( f n ) n∈Z est orthogonale. Comme aucune des
fonctions f n n’est nulle, il suffit de choisir k n =
1
f n
. Soient m et n dans Z et
distincts. On calcule le produit scalaire ( f n | f m ) qui vaut :
+∞
−∞
1 − i x
1 + i x
n
1 + i x
1 − i x
m 1
1 + x
2
dx =
+∞
−∞
1 + i x
1 − i x
m−n 1
1 + x
2
dx.
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