Chap. 8. Espaces préhilbertiens
Autre méthode envisageable : le projeté orthogonal p(g) = b f 0 + a f 1 est caractérisé par le fait que ( p(g) − g | f 0 ) = ( p(g) − g | f 1 ) = 0, ce qui donne le système
b( f 0 | f 0 ) + a( f 1 | f 0 ) = (g | f 0 )
b( f 0 | f 1 ) + a( f 1 | f 1 ) = (g | f 0 )
. Ce système s’écrit
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
b +
a
2
= −
1
4
b
2
+
a
3
= −
1
9
.
La solution est a =
1
6
et b = −
1
3
. On poursuit ensuite comme précédemment.
8.1.4 Espaces préhilbertiens complexes
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel complexe. On ne donne ici que les différences par
rapport au cas réel.
• On appelle produit scalaire hermitien sur E toute application w définie sur
E × E à valeurs complexes telle que :
◦ l’application w est linéaire à droite,
◦ l’application w est semi-linéaire à gauche, c’est-à-dire que pour tout y ∈ E
et pour tout (x, x
, l) ∈ E × E × C, on a
w(x + lx
, y) = w(x, y) + lw(x
, y),
◦ pour tout (x, y) ∈ E × E, w(x, y) = w(y, x) (w est hermitienne)
◦ pour tout x ∈ E, w(x, x) 0 (positivité)
◦ si x ∈ E vérifie w(x, x) = 0, alors x = 0 (définie).
• Si x et y sont dans E, on a
x + y
2 = x
2 + y
2 + 2 Re(x | y).
• On appelle espace hermitien tout espace vectoriel préhilbertien complexe de
dimension finie. Si F est un sous-espace de dimension finie d’un espace préhilbertien complexe, muni d’une base orthonormale (e 1 , . . . , e m ), on a :
E = F
⊥
⊕ F
⊥ ,
et si x ∈ E, alors on a p F (x) =
m
k=1
(e k | x)e k (la formule ne change pas mais on
fera très attention au sens du produit scalaire qui n’est plus symétrique).
• Les expressions du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormale
deviennent :
(x | y) =
n
k=1
x k y k et x
2 =
n
k=1
|x k |
2 .
Autre méthode envisageable : le projeté orthogonal p(g) = b f 0 + a f 1 est caractérisé par le fait que ( p(g) − g | f 0 ) = ( p(g) − g | f 1 ) = 0, ce qui donne le système
b( f 0 | f 0 ) + a( f 1 | f 0 ) = (g | f 0 )
b( f 0 | f 1 ) + a( f 1 | f 1 ) = (g | f 0 )
. Ce système s’écrit
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
b +
a
2
= −
1
4
b
2
+
a
3
= −
1
9
.
La solution est a =
1
6
et b = −
1
3
. On poursuit ensuite comme précédemment.
8.1.4 Espaces préhilbertiens complexes
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel complexe. On ne donne ici que les différences par
rapport au cas réel.
• On appelle produit scalaire hermitien sur E toute application w définie sur
E × E à valeurs complexes telle que :
◦ l’application w est linéaire à droite,
◦ l’application w est semi-linéaire à gauche, c’est-à-dire que pour tout y ∈ E
et pour tout (x, x
, l) ∈ E × E × C, on a
w(x + lx
, y) = w(x, y) + lw(x
, y),
◦ pour tout (x, y) ∈ E × E, w(x, y) = w(y, x) (w est hermitienne)
◦ pour tout x ∈ E, w(x, x) 0 (positivité)
◦ si x ∈ E vérifie w(x, x) = 0, alors x = 0 (définie).
• Si x et y sont dans E, on a
x + y
2 = x
2 + y
2 + 2 Re(x | y).
• On appelle espace hermitien tout espace vectoriel préhilbertien complexe de
dimension finie. Si F est un sous-espace de dimension finie d’un espace préhilbertien complexe, muni d’une base orthonormale (e 1 , . . . , e m ), on a :
E = F
⊥
⊕ F
⊥ ,
et si x ∈ E, alors on a p F (x) =
m
k=1
(e k | x)e k (la formule ne change pas mais on
fera très attention au sens du produit scalaire qui n’est plus symétrique).
• Les expressions du produit scalaire et de la norme dans une base orthonormale
deviennent :
(x | y) =
n
k=1
x k y k et x
2 =
n
k=1
|x k |
2 .