Exercice 8.11
Mines-Ponts MP 2007
Calculer inf
1
0
(t ln t − at − b)
2 dt | (a, b) ∈ R
2
. Indiquer les valeurs de
(a, b) pour lesquelles ce minimum est atteint.
On munit E = C( [ 0, 1 ] , R) de son produit scalaire usuel (voir exercice 8.4
page 226) défini par ( f | g) =
1
0
f (t)g(t) dt. On note g l’élément de E défini
par ∀t ∈ ] 0, 1 ] , g(t) = t ln t et g(0) = 0 (prolongement par continuité en
0), f 0 la fonction constante égale à 1 et f 1 la fonction t → t. Soit F le plan
vectoriel engendré par f 0 et f 1 . Il s’agit de déterminer le minimum de g − f
2
lorsque f décrit F, c’est-à-dire le carré de la distance de g à F. On cherche
pour cela une base orthonormale de F en appliquant le procédé d’orthogonalisation de Schmidt à la base ( f 0 , f 1 ). On part du vecteur f 0 (qui est unitaire) et on
cherche e 1 sous la forme f 1 + a f 0 vérifiant ( f 0 | e 1 ) = 0. On obtient la condition
( f 0 | f 1 ) + a( f 0 | f 0 ) = 0, d’où a = −
1
2
. Par conséquent,
f 0 ,
f 1 −
f 0
2
f 1 −
f 0
2
est
une base orthonormale de F, donc le projeté orthogonal de g sur F est égal à
p(g) = (g | f 0 ) f 0 +
g |
f 1 −
f 0
2
f 1 −
f 0
2
f 1 −
f 0
2
f 1 −
f 0
2
. En intégrant par parties, on obtient
(g | f 0 ) =
t
2
2
ln t
1
0
−
1
0
t
2
dt = −
1
4
et par un calcul analogue, (g | f 1 ) = −
1
9
,
d’où (g | f 1 −
f 0
2
) =
1
72
. On a ( f 1 −
f 0
2
| f 1 −
f 0
2
) =
1
0
(t
2
− t +
1
4
) dt =
1
12
, d’où
finalement :
p(g) = −
1
4
f 0 +
−
1
9
+
1
8
12
f 1 −
f 0
2
=
f 1
6
−
f 0
3
.
On sait d’autre part que d(g, F)
2 = g − p(g)
2 = g
2
− −p(g)
2 , d’où :
d(g, F)
2 = g
2
− (g | f 0 )
2
−
(g | f 1 −
f 0
2
)
2
( f 1 −
f 0
2
| f 1 −
f 0
2
)
.
Or g
2 =
1
0
t
2 (ln t)
2 dt = −
2
3
1
0
t
2 ln t dt =
2
3
1
0
t
2
3
dt en intégrant deux fois
par parties, d’où g
2 =
2
27
.
Par suite, d(g, F)
2 =
2
27
−
1
16
−
1
16 × 27
=
1
108
.
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