• Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Soit E un espace préhilbertien réel et F un sous-espace vectoriel de E de
dimension finie.
◦ On a F ⊕ F
⊥ = E.
◦ Si, de plus, E est de dimension finie, alors dim F + dim F
⊥ = dim E et
F
⊥⊥ = F.
◦ Pour x ∈ E, on note d(x, F) = min
z∈F
x − z. Ce minimum est atteint en un
unique vecteur, le projeté orthogonal de x sur F. On a :
x
2 = d(x, F)
2 + p F (x)
2 .
◦ Soit B F = (e 1 , . . . , e m ) une base orthonormale de F. Pour tout x ∈ E, on a :
p F (x) =
m
i=1
(e i | x)e i ,
m
i=1
(e i | x)
2
x
2 (inégalité de Bessel).
Exercice 8.10
CCP MP 2005
L’espace vectoriel R
4 est muni de sa structure euclidienne canonique. Soit F le
sous-espace de R
4 d’équations cartésiennes
x + y + z + t = 0
x − y + z − t = 0
.
1) Donner la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur F.
2) Soit a = (1, 1, 1, 3) ∈ R
4 . Calculer d(a, F).
1) On remarque que (x, y, z, t) ∈ F ⇐⇒ x + z = 0 et y + t = 0. On en déduit que
les deux vecteurs e 1 =
1
√
2
(1, 0, −1, 0) et e 2 =
1
√
2
(0, 1, 0, −1) forment une base
orthonormale de F. Soit V = (x, y, z, t) ∈ R
4 , alors on a :
p F (V ) = e 1 , V e 1 + e 2 , V e 2 =
1
√
2
(x − z)e 1 +
1
√
2
(y − t)e 2 .
La matrice de p F dans la base canonique est
1
2
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0 −1
0
0
1
0 −1
−1
0
1
0
0 −1
0
1
⎞
⎟
⎟
⎠ .
2) On en déduit que p F (a) = (0, −1, 0, 1), donc
d(a, F) =
a 2 − −p F (a) 2 =
√
10.