• Pour p ∈ N, notons e( p) l’élément de F défini par ∀n ∈ N, e( p) n = d np .
Soit u ∈ F
⊥ , on a alors u, e( p) = 0, ce qui donne u p = 0, ceci étant vrai pour
tout entier p, on en déduit que u = 0, donc F
⊥ = {0}.
Remarque
On démontre facilement que F est dense dans
2 (R) pour la norme associée au
produit scalaire précédent.
8.1.3 Bases orthonormales, projection orthogonale sur un
sous-espace de dimension finie
Ce qu’il faut savoir
• On appelle espace euclidien, tout espace préhilbertien réel de dimension finie.
• Soit E un espace euclidien. Pour a ∈ E, on note w a l’endomorphisme de E
qui a tout x ∈ E associe w a (x) = (a | x). L’application a → w a est un isomorphisme entre les espaces vectoriels E et E
∗ .
• Si E est un espace euclidien, alors il admet une base orthonormale. Si F est
une famille orthonormale de vecteurs de E, alors on peut la compléter en une
base orthonormale de E.
• Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt
Soit B = (e 1 , . . . , e n ) une base quelconque de E.
◦ Il existe une unique base orthogonale B
= (e
1 , . . . , e
n ) telle que e
1 = e 1 et
pour tout k ∈ [[1 , n − 1]], e
k+1 − e k+1 ∈ Vect(e 1 , . . . , e k ).
On calcule les vecteurs (e
k ) par l’algorithme suivant :
∀k ∈ [[1 , n − 1]], e
k+1 = e k+1 −
k
j=1
(e k+1 | e
j )
(e
j | e
j )
e
j .
◦ En posant e
k =
e
k
e
k
, la base B
= (e
1 , . . . , e
n ) est orthonormale et on a :
∀k ∈ [[1 , n]], Vect(e 1 , . . . , e k ) = Vect(e
1 , . . . , e
k ) .
• Calculs dans une base orthonormale
soit B = (e 1 , . . . , e n ) une base orthonormale d’un espace euclidien E. Soient
x =
n
i=1
x i e i et y =
n
i=1
y i e i deux vecteurs de E.
◦ On a (x | y) =
n
i=1
x i y i et x
2 =
n
i=1
x
2
i .
◦ En posant X =
t
(x 1 , . . . , x n ) et Y =
t
(y 1 , . . . , y n ), on a (x | y) =
t XY et
x
2 =
t X X.
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