Chap. 8. Espaces préhilbertiens
que w( f , f ) = 0. Puisque la fonction f
2 + f
2 est continue et positive sur [0, 1]
et que
1
0
( f
2 + f
2 )(t) dt = 0, la fonction est nulle sur [0, 1]. Les fonctions sont
à valeurs réelles donc f est nulle sur [0, 1]. L’application w est bien un produit
scalaire sur E. On le notera (.|.) dans la suite.
2) On commence par montrer que F et G sont orthogonaux (ce qui entraîne que la
somme F + G est directe). Soient f ∈ F et g ∈ G. Une intégration par parties de
1
0
f
(t)g
(t) dt donne :
( f |g) =
1
0
f (t)g(t) dt +
f (t)g
(t)
1
0
−
1
0
f (t)g
(t) dt = 0,
car f (0) = f (1) = 0 et g
− g = 0. Les deux sous-espaces F et G sont orthogonaux. Il reste à montrer qu’ils sont supplémentaires. On procède, comme souvent,
par analyse-synthèse. Soit h ∈ E. On suppose qu’il existe f ∈ F et g ∈ G
telles que h = f + g. On cherche à déterminer ces fonctions. Le sous-espace
le plus simple est G puisque G = Vect(sh, ch), alors que F est de dimension
infinie. On écrit g = A ch +B sh. Les valeurs en 0 et 1 donnent h(0) = A et
h(1) = A ch 1 + B sh 1, c’est-à-dire B =
h(1) − h(0) ch 1
sh 1
. La fonction g est donc
entièrement déterminée. On écrit alors f = h − g, ce qui définit f . On passe
à la partie synthèse. Soit g = A ch +B sh où A et B sont les constantes déterminées ci-dessus, et f = h − g. Il est immédiat que g ∈ G et f + g = h.
Il reste à prouver que f ∈ E. On a f (0) = h(0) − g(0) = h(0) − A = 0 et
f (1) = h(1) − g(1) = h(1) − (h(0) ch 1 + h(1) − h(0) ch 1) = 0. Ainsi h se
décompose en h = f + g avec f ∈ F et g ∈ G. Les sous-espaces F et G sont
donc des supplémentaires orthogonaux.
Exercice 8.9
Centrale MP 2005
On note
2 (R) l’espace vectoriel des suites réelles (u n ) n∈N telles que la série de
terme général u
2
n converge, muni du produit scalaire défini par u, v =
+∞
n=0
u n v n .
Soit F le sous-espace formé des suites à support fini (c’est-à-dire ayant un
nombre fini de termes non nuls). Vérifier que F ⊂
2 (R), puis déterminer F
⊥ .
• Soit u un élement de F, il existe un entier naturel q tel que ∀n > q, u n = 0. La
suite S n =
n
k=0
u
2
k est stationnaire à la valeur S q à partir du rang q, donc la série
u
2
n converge.
que w( f , f ) = 0. Puisque la fonction f
2 + f
2 est continue et positive sur [0, 1]
et que
1
0
( f
2 + f
2 )(t) dt = 0, la fonction est nulle sur [0, 1]. Les fonctions sont
à valeurs réelles donc f est nulle sur [0, 1]. L’application w est bien un produit
scalaire sur E. On le notera (.|.) dans la suite.
2) On commence par montrer que F et G sont orthogonaux (ce qui entraîne que la
somme F + G est directe). Soient f ∈ F et g ∈ G. Une intégration par parties de
1
0
f
(t)g
(t) dt donne :
( f |g) =
1
0
f (t)g(t) dt +
f (t)g
(t)
1
0
−
1
0
f (t)g
(t) dt = 0,
car f (0) = f (1) = 0 et g
− g = 0. Les deux sous-espaces F et G sont orthogonaux. Il reste à montrer qu’ils sont supplémentaires. On procède, comme souvent,
par analyse-synthèse. Soit h ∈ E. On suppose qu’il existe f ∈ F et g ∈ G
telles que h = f + g. On cherche à déterminer ces fonctions. Le sous-espace
le plus simple est G puisque G = Vect(sh, ch), alors que F est de dimension
infinie. On écrit g = A ch +B sh. Les valeurs en 0 et 1 donnent h(0) = A et
h(1) = A ch 1 + B sh 1, c’est-à-dire B =
h(1) − h(0) ch 1
sh 1
. La fonction g est donc
entièrement déterminée. On écrit alors f = h − g, ce qui définit f . On passe
à la partie synthèse. Soit g = A ch +B sh où A et B sont les constantes déterminées ci-dessus, et f = h − g. Il est immédiat que g ∈ G et f + g = h.
Il reste à prouver que f ∈ E. On a f (0) = h(0) − g(0) = h(0) − A = 0 et
f (1) = h(1) − g(1) = h(1) − (h(0) ch 1 + h(1) − h(0) ch 1) = 0. Ainsi h se
décompose en h = f + g avec f ∈ F et g ∈ G. Les sous-espaces F et G sont
donc des supplémentaires orthogonaux.
Exercice 8.9
Centrale MP 2005
On note
2 (R) l’espace vectoriel des suites réelles (u n ) n∈N telles que la série de
terme général u
2
n converge, muni du produit scalaire défini par u, v =
+∞
n=0
u n v n .
Soit F le sous-espace formé des suites à support fini (c’est-à-dire ayant un
nombre fini de termes non nuls). Vérifier que F ⊂
2 (R), puis déterminer F
⊥ .
• Soit u un élement de F, il existe un entier naturel q tel que ∀n > q, u n = 0. La
suite S n =
n
k=0
u
2
k est stationnaire à la valeur S q à partir du rang q, donc la série
u
2
n converge.