Comme f (x) = 0, on a (x | v i ) = 0 pour tout i , donc (x | x) = 0, c’est-à-dire x = 0.
Comme f est injective et dim E = dim R
n = n, on conclut que f est bijective.
En conséquence, pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n , il existe un unique v ∈ E tel que
f (v) = (x 1 , . . . , x n ) c’est-à-dire pour tout i ∈ [[1 , n]], (v | v i ) = x i .
Exercice 8.7
CCP MP 2007
Soient E un espace préhilbertien réel et f ∈ GL(E) telle que :
∀(x, y) ∈ E
2 , (x | y) = 0 ⇒ ( f (x) | f (y)) = 0.
1) Calculer (u + v | u − v) lorsque u et v sont deux vecteurs unitaires.
2) Montrer qu’il existe a > 0 tel que ∀x ∈ E, f (x) = ax.
3) En déduire que ∀(x, y) ∈ E
2 , ( f (x) | f (y)) = a
2 (x | y).
1) En développant, on obtient (u + v | u − v) = u
2
− −v
2 = 1 − 1 = 0.
2) Si u et v sont unitaires, alors (u + v | u − v) = 0 donc
( f (u + v) | f (u − v)) = ( f (u) + f (v) | f (u) − f (v)) = 0,
c’est-à-dire f (u)
2 = f (v)
2 . On en déduit que pour tout vecteur unitaire x,
la norme de f (x) est constante, que l’on note a. Comme f est bijective, on a
a > 0. Soit x ∈ E \ {0}, le vecteur y =
x
x
est unitaire donc f (y) = a, d’où
f (x) = ax. L’égalité reste valable pour x = 0.
3) Soit (x, y) ∈ E
2 . Par formule de polarisation, on a :
4( f (x) | f (y)) = ( f (x + y) | f (x + y)) − ( f (x − y) | f (x − y))
= a
2 (x + y | x + y) − a
2 (x − y | x − y) = 4a
2 (x | y).
Exercice 8.8
CCP PSI 2006, ENSEA MP 2007
Soit E = C
2 ([0, 1], R).
1) Montrer que l’application w : ( f , g) →
1
0
f (t)g(t) + f
(t)g
(t)
dt définit
un produit scalaire sur E.
2) Soient F = { f ∈ E | f (0) = f (1) = 0} et G = {g ∈ E | g
= g}. Montrer
que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires et orthogonaux.
1) L’existence de w( f , g) est immédiate puisque la fonction f g + f
g
est continue
sur [0, 1]. On montre facilement que w est bilinéaire et symétrique. Si f ∈ E, on
a w( f , f ) =
1
0
( f
2 (t) + f
(t)
2 ) dt, si bien que w( f , f ) 0. Soit f ∈ E telle
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