Remarque
Si F et G sont orthogonaux, alors F ∩ G = {0 E }, donc la somme F + G est
directe.
• Soit A une partie de E. On définit le sous-espace vectoriel
A
⊥ = {x ∈ E | ∀y ∈ A, (x | y) = 0},
appelé orthogonal de A. On a notamment A
⊥ = (VectA)
⊥ .
Remarque
Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors les sous-espaces F et F
⊥ sont
orthogonaux.
• On dit qu’une famille de vecteurs est orthogonale (resp. orthonormale) lorsque
les vecteurs sont deux à deux orthogonaux (resp. deux à deux orthogonaux et
unitaires).
• Résultat important : une famille de vecteurs orthogonaux ne contenant pas
le vecteur nul est libre.
• Théorème de Pythagore : les vecteurs x et y sont orthogonaux si et seulement
si x + y
2 = x
2 + y
2 .
Si (x 1 , . . . , x n ) est une famille orthogonale, alors x 1 +· · ·+x n
2 = x 1
2 +· · ·+x n
2 .
La réciproque est fausse si n 3.
• Si les sous-espaces F 1 , . . . , F n sont deux à deux orthogonaux, alors leur somme
est directe, et elle est notée F 1
⊥
⊕ F 2
⊥
⊕ . . .
⊥
⊕ F n .
Lorsque F 1
⊥
⊕ F 2
⊥
⊕ . . .
⊥
⊕ F n = E, on dit que les sous-espaces F 1 , . . . , F n sont
des supplémentaires orthogonaux.
Remarque
Contrairement au cas des sommes directes, il n’y a pas de différence entre
« deux à deux orthogonaux » et « chacun est orthogonal à la somme des autres ».
• Lorsque les sous-espaces F et F
⊥ sont supplémentaires, on appelle projection
orthogonale sur F, la projection sur F parallèlement à F
⊥ . Elle est notée p F .
Exercice 8.6
CCP MP 2007
Soient E un espace préhilbertien réel de dimension finie et (v 1 , . . . , v n ) une base
de E. Montrer que, pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n , il existe un unique vecteur v ∈ E
tel que (v | v i ) = x i pour tout i ∈ [[1 , n]].
Soit f : E −→ R
n
x −→ ((x | v 1 ), . . . , (x | v n ))
. On observe que f est linéaire. Montrons qu’elle est injective. Soit x ∈ E tel que f (x) = 0. Comme (v 1 , . . . , v n ) est une
base, il existe (a 1 , . . . , a n ) ∈ R
n tel que x =
n
i=1
a i v i , donc (x | x) =
n
i=1
a i (x | v i ).
Si F et G sont orthogonaux, alors F ∩ G = {0 E }, donc la somme F + G est
directe.
• Soit A une partie de E. On définit le sous-espace vectoriel
A
⊥ = {x ∈ E | ∀y ∈ A, (x | y) = 0},
appelé orthogonal de A. On a notamment A
⊥ = (VectA)
⊥ .
Remarque
Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors les sous-espaces F et F
⊥ sont
orthogonaux.
• On dit qu’une famille de vecteurs est orthogonale (resp. orthonormale) lorsque
les vecteurs sont deux à deux orthogonaux (resp. deux à deux orthogonaux et
unitaires).
• Résultat important : une famille de vecteurs orthogonaux ne contenant pas
le vecteur nul est libre.
• Théorème de Pythagore : les vecteurs x et y sont orthogonaux si et seulement
si x + y
2 = x
2 + y
2 .
Si (x 1 , . . . , x n ) est une famille orthogonale, alors x 1 +· · ·+x n
2 = x 1
2 +· · ·+x n
2 .
La réciproque est fausse si n 3.
• Si les sous-espaces F 1 , . . . , F n sont deux à deux orthogonaux, alors leur somme
est directe, et elle est notée F 1
⊥
⊕ F 2
⊥
⊕ . . .
⊥
⊕ F n .
Lorsque F 1
⊥
⊕ F 2
⊥
⊕ . . .
⊥
⊕ F n = E, on dit que les sous-espaces F 1 , . . . , F n sont
des supplémentaires orthogonaux.
Remarque
Contrairement au cas des sommes directes, il n’y a pas de différence entre
« deux à deux orthogonaux » et « chacun est orthogonal à la somme des autres ».
• Lorsque les sous-espaces F et F
⊥ sont supplémentaires, on appelle projection
orthogonale sur F, la projection sur F parallèlement à F
⊥ . Elle est notée p F .
Exercice 8.6
CCP MP 2007
Soient E un espace préhilbertien réel de dimension finie et (v 1 , . . . , v n ) une base
de E. Montrer que, pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n , il existe un unique vecteur v ∈ E
tel que (v | v i ) = x i pour tout i ∈ [[1 , n]].
Soit f : E −→ R
n
x −→ ((x | v 1 ), . . . , (x | v n ))
. On observe que f est linéaire. Montrons qu’elle est injective. Soit x ∈ E tel que f (x) = 0. Comme (v 1 , . . . , v n ) est une
base, il existe (a 1 , . . . , a n ) ∈ R
n tel que x =
n
i=1
a i v i , donc (x | x) =
n
i=1
a i (x | v i ).