1) Il est évident que B est une forme bilinéaire symétrique, et on a, pour tout f ∈ E,
B( f , f ) =
1
0
f (t)
2 dt 0, donc B est positive. Enfin, si B( f , f ) = 0, alors
f
2 est une fonction continue positive sur [ 0, 1 ] d’intégrale nulle, donc c’est la
fonction nulle, d’où f = 0. On conclut que B est un produit scalaire sur E.
2) En notant 1 la fonction constante égale à 1, on a par inégalité de Cauchy-Schwarz
B(h, 1)
2
B(1, 1)B(h, h), d’où ∀h ∈ F, 1
1
0
h(t)
2 dt. On a égalité lorsque
h est la fonction constante égale à 1, donc min
h∈F
1
0
h(t)
2 dt = 1.
Exercice 8.5
Centrale PC 2007
Soient E un espace préhilbertien, a un vecteur unitaire de E, k un réel, et F
l’application de E
2 dans R définie par F(x, y) = (x|y) + k(x|a)(y|a). Donner
une condition nécessaire et suffisante pour que F soit un produit scalaire sur E.
On suppose que k = 0 et que le vecteur a est non nul (sinon F est le produit scalaire donné sur E). L’application F est bilinéaire par bilinéarité du produit scalaire
(.|.). La symétrie est également immédiate puisque, pour tout (x, y) ∈ E
2 , on a
F(y, x) = (y|x) + k(y|a)(x|a) = F(x, y).
Soit x ∈ E. On a F(x, x) = x
2 + k(x|a)
2 . Si k 0, alors F(x, x) x
2 et
F est positive et définie. On suppose maintenant que k < 0. L’inégalité de CauchySchwarz donne |(x|a)|
2
a
2
x
2 = x
2 avec égalité lorsque x est colinéaire à
a. Cela donne F(x, x) x
2 + kx
2 = (1 + k)x
2 avec égalité lorsque x = a
(par exemple). Pour que F(x, x) soit strictement positif pour tout x = 0 E , il faut que
1 + k > 0 (en prenant x = a) et cette condition est suffisante.
Conclusion : l’application F est un produit scalaire si et seulement si k > −1.
8.1.2 Orthogonalité
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace préhilbertien réel, muni d’un produit scalaire noté (·|·).
• On dit que :
◦ deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux lorsque (x | y) = 0.
◦ un vecteur x ∈ E est orthogonal à un sous-espace vectoriel F de E lorsque,
pour tout y ∈ F, on a (x | y) = 0.
◦ deux sous-espaces vectoriels F et G sont orthogonaux lorsque pour tout
(x, y) ∈ F × G, on a (x | y) = 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
B( f , f ) =
1
0
f (t)
2 dt 0, donc B est positive. Enfin, si B( f , f ) = 0, alors
f
2 est une fonction continue positive sur [ 0, 1 ] d’intégrale nulle, donc c’est la
fonction nulle, d’où f = 0. On conclut que B est un produit scalaire sur E.
2) En notant 1 la fonction constante égale à 1, on a par inégalité de Cauchy-Schwarz
B(h, 1)
2
B(1, 1)B(h, h), d’où ∀h ∈ F, 1
1
0
h(t)
2 dt. On a égalité lorsque
h est la fonction constante égale à 1, donc min
h∈F
1
0
h(t)
2 dt = 1.
Exercice 8.5
Centrale PC 2007
Soient E un espace préhilbertien, a un vecteur unitaire de E, k un réel, et F
l’application de E
2 dans R définie par F(x, y) = (x|y) + k(x|a)(y|a). Donner
une condition nécessaire et suffisante pour que F soit un produit scalaire sur E.
On suppose que k = 0 et que le vecteur a est non nul (sinon F est le produit scalaire donné sur E). L’application F est bilinéaire par bilinéarité du produit scalaire
(.|.). La symétrie est également immédiate puisque, pour tout (x, y) ∈ E
2 , on a
F(y, x) = (y|x) + k(y|a)(x|a) = F(x, y).
Soit x ∈ E. On a F(x, x) = x
2 + k(x|a)
2 . Si k 0, alors F(x, x) x
2 et
F est positive et définie. On suppose maintenant que k < 0. L’inégalité de CauchySchwarz donne |(x|a)|
2
a
2
x
2 = x
2 avec égalité lorsque x est colinéaire à
a. Cela donne F(x, x) x
2 + kx
2 = (1 + k)x
2 avec égalité lorsque x = a
(par exemple). Pour que F(x, x) soit strictement positif pour tout x = 0 E , il faut que
1 + k > 0 (en prenant x = a) et cette condition est suffisante.
Conclusion : l’application F est un produit scalaire si et seulement si k > −1.
8.1.2 Orthogonalité
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace préhilbertien réel, muni d’un produit scalaire noté (·|·).
• On dit que :
◦ deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux lorsque (x | y) = 0.
◦ un vecteur x ∈ E est orthogonal à un sous-espace vectoriel F de E lorsque,
pour tout y ∈ F, on a (x | y) = 0.
◦ deux sous-espaces vectoriels F et G sont orthogonaux lorsque pour tout
(x, y) ∈ F × G, on a (x | y) = 0.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit