Chap. 8. Espaces préhilbertiens
conséquent, A et A
ont le même rang. D’autre part, det(
t P) = det P, d’où
det A
= (det P)
2 det A, donc det A et det A
sont de même signe.
3) D’après ce qui précède, le rang de Q est celui de la matrice A ∈ M n (R) dont les
coefficients diagonaux sont nuls et dont les autres coefficients sont égaux à 1. Or
det A = (−1)
n−1 (n − 1) est non nul (voir exercice 6.7, page 161), donc Q est de
rang n.
8.1.1 Produit scalaire
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel réel.
• On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie
positive. On le note en général (x, y) → (x | y) ou x, y. Lorsque E est muni
d’un produit scalaire, on dit que E est un espace préhilbertien réel.
Dans la suite, E est un espace préhilbertien réel.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz : ∀(x, y) ∈ E
2 , (x | y)
2
(x | x) (y | y).
Il y a égalité si et seulement si la famille (x, y) est liée.
• Inégalité de Minkowski : ∀(x, y) ∈ E
2 ,
(x + y | x + y)
(x | x)+
(y | y).
Il y a égalité si et seulement si la famille (x, y) est positivement liée (c’est-à-dire
x = 0 ou ∃a 0, y = ax).
• L’application x →
(x | x) est une norme sur E, dite norme préhilbertienne
associée au produit scalaire.
• Produits scalaires usuels :
◦ Dans E = R
n , on définit le produit scalaire canonique (x | y) =
n
i=1
x i y i où
x = (x 1 , . . . , x n ) et y = (y 1 , . . . , y n ).
◦ Dans E = C
0 ([a, b], R), on définit le produit scalaire ( f | g) =
b
a
f (t)g(t) dt.
◦ Dans E = M n (R), on définit le produit scalaire (A | B) = tr(
t AB) =
1i, jn
a i j b i j .
Exercice 8.4
CCP MP 2006
Soient E = C([0, 1], R) et B : E×E → R définie par B( f , g) =
1
0
f (t)g(t) dt.
1) Montrer que B est un produit scalaire sur E.
2) On pose F = {h ∈ E |
1
0
h(t) dt = 1}. Calculer min
h∈F
1
0
h(t)
2 dt.