associée à f
. Soit M = (m i j ) ∈ E, le i
ème coefficient diagonal de M
2 est égal à
n
j=1
m i j m ji , donc Q
(M) =
1i, jn
m i j m ji .
• Si M est symétrique, alors Q
(M) =
1i, jn
m
2
i j ; c’est la somme des carrés de
tous les coefficients de M, donc Q
(M) 0, et Q
(M) = 0 ⇐⇒ M = 0,
donc Q
restreinte à S n est définie positive.
• Si M est antisymétrique, alors Q
(M) = −
1i, jn
m
2
i j . On obtient l’opposé du
terme précédent, donc Q
restreinte à A n est définie négative.
Remarque
On observe en outre que pour tout (M, N ) ∈ S n × A n , f
(M, N ) = 0. On dit que
S n et A n sont conjugués vis-à-vis de la forme quadratique Q
.
Exercice 8.3
Changement de base pour une forme bilinéaire symétrique
Soient E un espace de dimension n, B = (e 1 , . . . , e n ) et B
= (e
1 , . . . , e
n ) deux
bases de E. Soit f une forme bilinéaire symétrique sur E, de matrices A et A
dans les bases B et B
.
1) Soit P la matrice de passage de B à B
. Démontrer que A
=
t P AP.
2) En déduire que A et A
sont de même rang (appelé rang de la forme bilinéaire
f ou de la forme quadratique associée) et que det A et det A
sont de même
signe.
3) Application (Mines-Ponts MP 2006) :
Déterminer le rang de la forme quadratique Q sur R
n définie par :
∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n , Q(x 1 , . . . , x n ) =
1i, jn, i = j
x i x j .
1) Soient X
et Y
deux vecteurs colonnes de R
n , x et y les éléments de E représentés
par X
et Y
dans la base B
. En posant X = P X
et Y = PY
, on sait que x et
y sont représentés par les vecteurs colonnes X et Y dans la base B. On a donc
f (x, y) =
t X AY et f (x, y) =
t X
A
Y
, selon qu’on effectue le calcul dans la base
B ou B
. On en déduit que
t X
A
Y
=
t X
t P APY
pour tout couple de vecteurs
colonnes (X
, Y
). En choisissant X
= E i et Y
= E j (où (E 1 , . . . , E n ) est la
base canonique de R
n ), on en déduit que les coefficients d’indice (i, j) des deux
matrices sont égaux, d’où finalement A
=
t P AP.
2) Multiplier une matrice par une matrice inversible ne modifie pas son rang,
or P est inversible (matrice de changement de base) donc
t P également, par
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
. Soit M = (m i j ) ∈ E, le i
ème coefficient diagonal de M
2 est égal à
n
j=1
m i j m ji , donc Q
(M) =
1i, jn
m i j m ji .
• Si M est symétrique, alors Q
(M) =
1i, jn
m
2
i j ; c’est la somme des carrés de
tous les coefficients de M, donc Q
(M) 0, et Q
(M) = 0 ⇐⇒ M = 0,
donc Q
restreinte à S n est définie positive.
• Si M est antisymétrique, alors Q
(M) = −
1i, jn
m
2
i j . On obtient l’opposé du
terme précédent, donc Q
restreinte à A n est définie négative.
Remarque
On observe en outre que pour tout (M, N ) ∈ S n × A n , f
(M, N ) = 0. On dit que
S n et A n sont conjugués vis-à-vis de la forme quadratique Q
.
Exercice 8.3
Changement de base pour une forme bilinéaire symétrique
Soient E un espace de dimension n, B = (e 1 , . . . , e n ) et B
= (e
1 , . . . , e
n ) deux
bases de E. Soit f une forme bilinéaire symétrique sur E, de matrices A et A
dans les bases B et B
.
1) Soit P la matrice de passage de B à B
. Démontrer que A
=
t P AP.
2) En déduire que A et A
sont de même rang (appelé rang de la forme bilinéaire
f ou de la forme quadratique associée) et que det A et det A
sont de même
signe.
3) Application (Mines-Ponts MP 2006) :
Déterminer le rang de la forme quadratique Q sur R
n définie par :
∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n , Q(x 1 , . . . , x n ) =
1i, jn, i = j
x i x j .
1) Soient X
et Y
deux vecteurs colonnes de R
n , x et y les éléments de E représentés
par X
et Y
dans la base B
. En posant X = P X
et Y = PY
, on sait que x et
y sont représentés par les vecteurs colonnes X et Y dans la base B. On a donc
f (x, y) =
t X AY et f (x, y) =
t X
A
Y
, selon qu’on effectue le calcul dans la base
B ou B
. On en déduit que
t X
A
Y
=
t X
t P APY
pour tout couple de vecteurs
colonnes (X
, Y
). En choisissant X
= E i et Y
= E j (où (E 1 , . . . , E n ) est la
base canonique de R
n ), on en déduit que les coefficients d’indice (i, j) des deux
matrices sont égaux, d’où finalement A
=
t P AP.
2) Multiplier une matrice par une matrice inversible ne modifie pas son rang,
or P est inversible (matrice de changement de base) donc
t P également, par
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit