de sa forme quadratique associée q) dans la base B. Cette matrice est symétrique.
Si x =
n
i=1
x i e i et y =
n
i=1
y i e i , on note X et Y les vecteurs colonnes des coordonnées de x et y dans la base B. Alors w(x, y) =
1i, jn
a i, j x i y j =
t X AY . En
particulier, q(x) =
1i, jn
a i, j x i x j =
n
i=1
a i,i x
2
i + 2
1i< jn
a i, j x i x j =
t X AX.
Exercice 8.1
Soient E = R[X ] et B l’application de E × E dans R définie par :
B(P, Q) = P(0)Q(1) + P(1)Q(0).
Montrer que B est une forme bilinéaire symétrique. Est-elle positive ?
On vérifie facilement que ∀(P, Q) ∈ R[X ]
2 , B(P, Q) = B(Q, P) et que
∀a ∈ R, ∀(P, Q, R) ∈ R[X ]
3 , B(aP + Q, R) = aB(P, R) + B(Q, R), donc B est
une forme bilinéaire symétrique sur E.
On a B(P, P) = 2P(0)P(1). En particulier B(X − 1/2, X − 1/2) = −1/2 < 0,
donc B n’est pas positive.
Exercice 8.2
On se place dans l’espace vectoriel E = M n (R).
1) Soit Q l’application de E dans R définie par Q(M) = (tr M)
2 . Montrer que
Q est une forme quadratique positive sur E. Expliciter la forme bilinéaire
symétrique associée.
2) Soit Q
l’application de E dans R définie par Q
(M) = tr(M
2 ). Montrer que
Q
est une forme quadratique sur E. Montrer que sa restriction au sous espace
S n des matrices symétriques est définie positive, et que sa restriction au sousespace A n des matrices antisymétriques est négative.
1) Pour tout (M, N ) ∈ E × E, on pose f (M, N ) = tr(M) tr(N ). Par linéarité de la
trace, f est une forme bilinéaire symétrique et Q(M) = f (M, M) 0, donc Q
est une forme quadratique positive de forme polaire f .
2) On pose f
(M, N ) = tr(M N ). L’application f
est clairement bilinéaire et
on a Q
(M) = f
(M, M). On sait que pour tout couple (M, N ) de M n (R)
2 ,
tr(M N ) = tr(N M), donc f
est symétrique, et Q
est la forme quadratique