Espaces préhilbertiens
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8.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel réel.
• Forme bilinéaire symétrique
◦ On appelle forme bilinéaire symétrique sur E toute application w définie
sur E × E à valeurs réelles telle que :
− pour tout x ∈ E, l’application y → w(x, y) est linéaire (linéarité à droite)
− pour tout y ∈ E, l’application x → w(x, y) est linéaire (linéarité à gauche)
− pour tout (x, y) ∈ E × E, w(x, y) = w(y, x) (symétrie).
◦ L’ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E est un R-espace vectoriel.
◦ On dit que la forme bilinéaire symétrique est positive lorsque, pour tout
x ∈ E, on a w(x, x) 0. On dit qu’elle est définie positive, lorsque de
plus, l’égalité w(x, x) = 0 implique x = 0 E (la réciproque étant toujours
vraie).
• Formes quadratiques
◦ Si w est une forme bilinéaire symétrique, on appelle forme quadratique associée à w, l’application q définie sur E à valeurs réelles, telle que, pour tout
x ∈ E, q(x) = w(x, x). On dit qu’elle est positive lorsque, pour tout x ∈ E,
q(x) 0, et définie positive lorsque, pour tout x ∈ E \ {0}, q(x) > 0.
◦ Formules de polarisation : si q est la forme quadratique associée à w, alors
pour tout (x, y) ∈ E × E, on a :
w(x, y) =
1
2
(q(x + y) − q(x) − q(y)) =
1
4
(q(x + y) − q(x − y)) .
◦ Inégalité de Cauchy-Schwarz : si w est une forme bilinéaire symétrique
positive et si q est sa forme quadratique associée, alors pour tout (x, y) ∈ E
2 ,
on a w(x, y)
2
q(x)q(y).
• Matrice d’une forme bilinéaire symétrique
Soient w une forme bilinéaire symétrique sur E, et B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une
base de E. On pose a i, j = w(e i , e j ) pour i et j compris entre 1 et n. La matrice
A = (a i, j ) 1i, jn est appelée matrice de la forme bilinéaire symétrique w (ou
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8.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel réel.
• Forme bilinéaire symétrique
◦ On appelle forme bilinéaire symétrique sur E toute application w définie
sur E × E à valeurs réelles telle que :
− pour tout x ∈ E, l’application y → w(x, y) est linéaire (linéarité à droite)
− pour tout y ∈ E, l’application x → w(x, y) est linéaire (linéarité à gauche)
− pour tout (x, y) ∈ E × E, w(x, y) = w(y, x) (symétrie).
◦ L’ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E est un R-espace vectoriel.
◦ On dit que la forme bilinéaire symétrique est positive lorsque, pour tout
x ∈ E, on a w(x, x) 0. On dit qu’elle est définie positive, lorsque de
plus, l’égalité w(x, x) = 0 implique x = 0 E (la réciproque étant toujours
vraie).
• Formes quadratiques
◦ Si w est une forme bilinéaire symétrique, on appelle forme quadratique associée à w, l’application q définie sur E à valeurs réelles, telle que, pour tout
x ∈ E, q(x) = w(x, x). On dit qu’elle est positive lorsque, pour tout x ∈ E,
q(x) 0, et définie positive lorsque, pour tout x ∈ E \ {0}, q(x) > 0.
◦ Formules de polarisation : si q est la forme quadratique associée à w, alors
pour tout (x, y) ∈ E × E, on a :
w(x, y) =
1
2
(q(x + y) − q(x) − q(y)) =
1
4
(q(x + y) − q(x − y)) .
◦ Inégalité de Cauchy-Schwarz : si w est une forme bilinéaire symétrique
positive et si q est sa forme quadratique associée, alors pour tout (x, y) ∈ E
2 ,
on a w(x, y)
2
q(x)q(y).
• Matrice d’une forme bilinéaire symétrique
Soient w une forme bilinéaire symétrique sur E, et B = (e 1 , e 2 , . . . , e n ) une
base de E. On pose a i, j = w(e i , e j ) pour i et j compris entre 1 et n. La matrice
A = (a i, j ) 1i, jn est appelée matrice de la forme bilinéaire symétrique w (ou