1) Notons D n le polynôme caractéristique x M . En développant sur les dernières
lignes le déterminant, on trouve
D n = (a n − X ) D n−1 − b n−1 c n−1 D n−2
(1).
Étudions pour commencer les racines de D 1 et D 2 .
D 1 = a 1 − X et D 2 = (a 1 − X ) (a 2 − X ) − b 1 c 1 .
D 2 (a 1 ) = −b 1 c 1 < 0 donc, D 2 étant un polynôme du second degré de monôme
dominant X
2 , D 2 possède deux racines réelles de part et d’autres de la racine réelle
a 1 de D 1 . On remarque que D 1 et D 2 sont scindés à racines (réelles) simples et que
la racine de D 1 sépare les racines de D 2 .
Effectuons un raisonnement par récurrence.
Soient k 2 et P k la propriété suivante :
D k est scindé à racines simples a
k
1 , . . . , a
k
k et a
k
1 < a
k−1
1
< · · · < a
k−1
k−1 < a
k
k .
P 2 est vraie. Soit k 2. Supposons P i vraie pour i ∈ [[2 , k]] et montrons P k+1 .
On sait que D k+1 = (a k+1 − X ) D k − b k c k D k−1
donc D k+1 (a
k
i ) = −b k c k D k−1 (a
k
i )
changement de signe / i
pour i ∈ [[1 , k − 1]].
Comme D k−1 (a
k
i ) change de signe à chaque i successif (racines simples croisées),
D k+1 possèdent au moins une racines dans chaque ]a
k
i , a
k
i+1 [, i ∈ [[1, k − 1]], ce
qui fait k − 1 racines.
Les deux dernières se trouvent dans ] − ∞, a
k
1 [ et ]a
k
k , +∞[.
◦ En effet, commençons par remarquer que
lim
t→−∞
D k+1 (t) = +∞ et lim
t→+∞
D k+1 (t) = (−1)
n
× ∞
(D k+1 (X ) est de monôme dominant (−X )
n ).
◦ D’autre part
D k+1 (a
k
1 ) =
a k+1 − a
k
1
D k (a
k
1 ) − b k c k D k−1 (a
k
1 ) = −b k c k D k−1 (a
k
1 )
donc, puisque b k c k > 0,
sgn(D k+1 (a
k
1 )) = − sgn(D k−1 (a
k
1 )) = − sgn( lim
t→−∞
D k−1 (t)) = −1
car a
k
1 < a
k−1
1
par hypothèse de récurrence. De même,
D k+1 (a
k
k ) =
a k+1 − a
k
k
D k (a
k
k ) − b k c k D k−1 (a
k
k ) = −b k c k D k−1 (a
k
k )
donc, puisque b k c k > 0,
sgn(D k+1 (a
k
k )) = − sgn(D k−1 (a
k
k )) = − sgn( lim
t→+∞
D k−1 (t)) = −(−1)
n
car a
k
k > a
k−1
k−1 par hypothèse de récurrence.
Ainsi
sgn(D k+1 (a
k
1 )) = − sgn( lim
t→−∞
D k+1 (t)) et sgn(D k+1 (a
k
k )) = − sgn( lim
t→+∞
D k+1 (t)),
donc, toujours par le théorème des valeurs intermédiaires, D k+1 s’annule sur
] − ∞, a
k
1 [ et ]a
k
k , +∞[ ce qui nous donne ses k + 1 racines, nécessairement
simples (deg D k+1 = k + 1) et croisées avec celles de D k .
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