Indication de la rédaction : on montrera que les polynômes caractéristiques possibles pour A
k , k ∈ N sont en nombre fini.
Le polynôme caractéristique de A s’écrit sous la forme
x A = (−1)
n X
n + a n−1 X
n−1 + · · · + a 0 = (−1)
n
n
k=1
(X − l k ).
La famille (l k ) représente les valeurs propres de A, supposées de module 1. Nous
savons que pour tout k ∈ [[1 , n]],
a n−k = (−1)
n
× (−1)
k
1i 1 <··· l i 1 · · · l i k .
On en déduit que
|a n−k |
1i 1 <··· |l i 1 | · · · |l i k |
1i 1 <··· 1 =
n
k
Les coefficients a k ∈ Z du polynôme caractéristique de A sont donc majorés en
valeur absolue par
n
n − k
=
n
k
. Les polynômes caractéristiques possibles pour
A sont donc en nombre fini. On peut effectuer le même raisonnement pour les puissance itérées A
k , k ∈ N. Soit l ∈ Sp(A) alors 0 < |l| 1.
Supposons |l| < 1 alors {l
k , k ∈ N} est infini mais est inclus dans l’ensemble
des valeurs propres des A
k , k ∈ N qui, lui, est fini car ces valeurs propres sont
racines d’un nombre fini de polynômes, d’où l’absurdité. Ainsi, pour tout l ∈ Sp(A),
|l| = 1.
Exercice 7.64
ENS Paris,Lyon,Cachan MP 2005 Ã
Soient n un entier 2, a 1 , . . . , a n , b 1 , . . . , b n−1 , c 1 , . . . , c n−1 des réels tels que
pour tout i ∈ {1, . . . , n − 1}, b i c i > 0, et M la matrice tridiagonale
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 b 1 0
· · ·
0
c 1 a 2 b 2
. . .
. . .
0 c 2 a 3
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . . b n−1
0 · · · 0 c n−1 a n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
1) Montrer que M est diagonalisable sur R.
2) Trouver une matrice symétrique de M n (R) ayant même polynôme caractéristique et mêmes termes diagonaux que M.