Exercice 7.62
Produit tensoriel, Mines-Ponts MP 2006
Soit E = M n (C), A et B deux éléments de E. Soit f l’endomorphisme de E
défini par f (X ) = AX.
1) Soient (X 1 , . . . , X n ) et (Y 1 , . . . , Y n ) deux bases de C
n . Montrer que la famille
des n
2 matrices X i
t Y j est une base de E.
2) Montrer que f est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
3) Même étude avec g : X → X B.
4) Soit alors F : X → AX B avec A et B diagonalisables. Montrer que F est
diagonalisable. La réciproque est-elle vraie ?
1) Notons (E i ) la base canonique de C
n . On sait que
E i
t E j
(i, j)∈[[1,n]] 2 est la base
canonique de E = M n (C). Comme (X 1 , . . . , X n ) et (Y 1 , . . . , Y n ) sont deux bases
de C
n , pour tout (i , j) ∈ [[1 , n]]
2 , E i
t
E j est combinaison linéaire de
X i
t
Y j
donc
X i
t
Y j
est une famille génératrice de E, comme elle est constituée de n
2
éléments, il s’agit d’une base de E.
2) Remarquons que pour tout k ∈ N, f
k (X ) = A
k X . Supposons f diagonalisable.
Il existe un polynôme P scindé à racines simples annulateur de f donc pour tout
X ∈ M n (C), P( f )(X ) = P(A)X = 0.
Il en résulte que P( A) = 0 et donc A est diagonalisable.
Supposons maintenant A diagonalisable. Il existe U 1 , . . . , U n une base de C
n
constituée de vecteurs propres de A associée aux valeurs propres l 1 , . . . , l n .
Posons E i j = U i
t U j . D’après la première question,
E i j
(i, j)∈[[1,n]] 2 est une base
de E = M n (C), de plus f (E i j ) = l i E i j . Donc
E i j
(i, j)∈[[1 ,n]] 2 est une base de
vecteurs propres de f , f est diagonalisable.
3) On procède de même pour g mais en considérant V 1 , . . . , V n une base de C
n
constituée de vecteurs propres de
t B.
4) On remarque que F = g ◦ f = f ◦ g. Comme f et g sont diagonalisables et
commutent, ils sont codiagonalisables et leur composée est diagonalisable donc
F est diagonalisable.
La réciproque est fausse en prenant par exemple B = 0 et A non diagonalisable.
L’endomorphisme F est nul, donc diagonalisable, mais pas A.
Exercice 7.63
ENS Paris, Lyon, Cachan MP 2006 Ã
Soit A ∈ GL n (C) ∩ M n (Z) à valeurs propres (complexes) de module majoré
par 1. Montrer que les valeurs propres de A sont des racines de l’unité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Produit tensoriel, Mines-Ponts MP 2006
Soit E = M n (C), A et B deux éléments de E. Soit f l’endomorphisme de E
défini par f (X ) = AX.
1) Soient (X 1 , . . . , X n ) et (Y 1 , . . . , Y n ) deux bases de C
n . Montrer que la famille
des n
2 matrices X i
t Y j est une base de E.
2) Montrer que f est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
3) Même étude avec g : X → X B.
4) Soit alors F : X → AX B avec A et B diagonalisables. Montrer que F est
diagonalisable. La réciproque est-elle vraie ?
1) Notons (E i ) la base canonique de C
n . On sait que
E i
t E j
(i, j)∈[[1,n]] 2 est la base
canonique de E = M n (C). Comme (X 1 , . . . , X n ) et (Y 1 , . . . , Y n ) sont deux bases
de C
n , pour tout (i , j) ∈ [[1 , n]]
2 , E i
t
E j est combinaison linéaire de
X i
t
Y j
donc
X i
t
Y j
est une famille génératrice de E, comme elle est constituée de n
2
éléments, il s’agit d’une base de E.
2) Remarquons que pour tout k ∈ N, f
k (X ) = A
k X . Supposons f diagonalisable.
Il existe un polynôme P scindé à racines simples annulateur de f donc pour tout
X ∈ M n (C), P( f )(X ) = P(A)X = 0.
Il en résulte que P( A) = 0 et donc A est diagonalisable.
Supposons maintenant A diagonalisable. Il existe U 1 , . . . , U n une base de C
n
constituée de vecteurs propres de A associée aux valeurs propres l 1 , . . . , l n .
Posons E i j = U i
t U j . D’après la première question,
E i j
(i, j)∈[[1,n]] 2 est une base
de E = M n (C), de plus f (E i j ) = l i E i j . Donc
E i j
(i, j)∈[[1 ,n]] 2 est une base de
vecteurs propres de f , f est diagonalisable.
3) On procède de même pour g mais en considérant V 1 , . . . , V n une base de C
n
constituée de vecteurs propres de
t B.
4) On remarque que F = g ◦ f = f ◦ g. Comme f et g sont diagonalisables et
commutent, ils sont codiagonalisables et leur composée est diagonalisable donc
F est diagonalisable.
La réciproque est fausse en prenant par exemple B = 0 et A non diagonalisable.
L’endomorphisme F est nul, donc diagonalisable, mais pas A.
Exercice 7.63
ENS Paris, Lyon, Cachan MP 2006 Ã
Soit A ∈ GL n (C) ∩ M n (Z) à valeurs propres (complexes) de module majoré
par 1. Montrer que les valeurs propres de A sont des racines de l’unité.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit