Chap. 7. Réduction des endomorphismes
donc F i est un sous-espace stable par A.
Conclusion : A est triangulaire supérieure (de diagonale, dans l’ordre ±
√
1, . . . , ±
√
n).
Exercice 7.61
Centrale MP 2007
Soient n ∈ N
∗ et (A, B) ∈ M n (C)
2 . On considère l’équation (E) AM = M B,
où l’inconnue M appartient à M n (C).
1) On suppose que (E) possède une solution non nulle M.
• Montrer que, pour tout P de C[X ], on a P(A)M = M P(B).
• Montrer que A et B ont une valeur propre commune.
2) On suppose que A et B ont une valeur propre commune.
• Montrer que si X et Y sont deux vecteurs colonnes non nuls, alors la matrice
X
t
Y est non nulle.
• Montrer que (E) admet une solution non nulle.
1) • On montre par récurrence sur k que A
k M = M B
k . C’est vrai pour
k = 0 et k = 1. Supposons la propriété vraie au rang k. On a alors
A
k+1 M = A A
k M = AM B
k = M B
k+1 , donc la propriété est vraie au
rang k + 1. Par linéarité, on en déduit que P(A)M = M P(B) pour tout
polynôme P ∈ C[X ].
• Choisissons pour P le polynôme caractéristique x A de la matrice A. Par le
théorème de Cayley-Hamilton, x A ( A) = 0, donc Mx A (B) = 0. Comme M est
non nulle, la matrice x A (B) est non inversible, donc det x A (B) = 0. Notons
l 1 , . . . , l p les valeurs propres de A, et a 1 , . . . , a p leurs ordres de multiplicité,
de sorte que x A =
n
k=1
(X − l k )
a k . On en déduit qu’il existe k ∈ [[1 , p]] tel que
det(B − l k ) = 0, donc l k ∈ Sp A ∩ Sp B.
2) • Comme X = 0, il existe i ∈ [[1 , n]] tel que x i = 0, et de même il existe
j ∈ [[1 , n]] tel que y j = 0. L’élément de ligne i et de colonne j de la matrice
X
t
Y étant égal à x i y j , il est non nul donc X
t
Y = 0.
• Notons l une valeur propre commune à A et B. Il existe un vecteur colonne non
nul X tel que AX = lX . Comme B et
t B ont même polynôme caractéristique,
l est également valeur propre de
t B, donc il existe un vecteur colonne non nul
Y tel que
t BY = lY . D’après la question précédente, la matrice M = X
t
Y est
non nulle et AM = AX
t
Y = lX
t
Y = X
t
lY = X
t
(
t BY ) = M B.
donc F i est un sous-espace stable par A.
Conclusion : A est triangulaire supérieure (de diagonale, dans l’ordre ±
√
1, . . . , ±
√
n).
Exercice 7.61
Centrale MP 2007
Soient n ∈ N
∗ et (A, B) ∈ M n (C)
2 . On considère l’équation (E) AM = M B,
où l’inconnue M appartient à M n (C).
1) On suppose que (E) possède une solution non nulle M.
• Montrer que, pour tout P de C[X ], on a P(A)M = M P(B).
• Montrer que A et B ont une valeur propre commune.
2) On suppose que A et B ont une valeur propre commune.
• Montrer que si X et Y sont deux vecteurs colonnes non nuls, alors la matrice
X
t
Y est non nulle.
• Montrer que (E) admet une solution non nulle.
1) • On montre par récurrence sur k que A
k M = M B
k . C’est vrai pour
k = 0 et k = 1. Supposons la propriété vraie au rang k. On a alors
A
k+1 M = A A
k M = AM B
k = M B
k+1 , donc la propriété est vraie au
rang k + 1. Par linéarité, on en déduit que P(A)M = M P(B) pour tout
polynôme P ∈ C[X ].
• Choisissons pour P le polynôme caractéristique x A de la matrice A. Par le
théorème de Cayley-Hamilton, x A ( A) = 0, donc Mx A (B) = 0. Comme M est
non nulle, la matrice x A (B) est non inversible, donc det x A (B) = 0. Notons
l 1 , . . . , l p les valeurs propres de A, et a 1 , . . . , a p leurs ordres de multiplicité,
de sorte que x A =
n
k=1
(X − l k )
a k . On en déduit qu’il existe k ∈ [[1 , p]] tel que
det(B − l k ) = 0, donc l k ∈ Sp A ∩ Sp B.
2) • Comme X = 0, il existe i ∈ [[1 , n]] tel que x i = 0, et de même il existe
j ∈ [[1 , n]] tel que y j = 0. L’élément de ligne i et de colonne j de la matrice
X
t
Y étant égal à x i y j , il est non nul donc X
t
Y = 0.
• Notons l une valeur propre commune à A et B. Il existe un vecteur colonne non
nul X tel que AX = lX . Comme B et
t B ont même polynôme caractéristique,
l est également valeur propre de
t B, donc il existe un vecteur colonne non nul
Y tel que
t BY = lY . D’après la question précédente, la matrice M = X
t
Y est
non nulle et AM = AX
t
Y = lX
t
Y = X
t
lY = X
t
(
t BY ) = M B.