4) Dans C
2 muni de la base canonique, on considère les endomorphismes u, v et
h de matrices respectives U =
0 1
0 0
, V =
0 0
1 0
et H =
1 0
0 −1
. Par
un calcul élémentaire, on vérifie que HU − U H = 2U , H V − V H = −2V et
U V − V U = H , donc les endomorphismes u, v et h vérifient bien les conditions
de l’énoncé.
Remarque
Le lecteur pourra montrer que u et v sont nilpotents, et que si une telle configuration
est présente dans R
n , alors l’entier n est pair.
Exercice 7.60
Mines-Ponts PSI 2006
Soit A ∈ M n (R) telle que A
2 soit triangulaire supérieure, de diagonale
(1, 2, . . . , n). Montrer que A est triangulaire supérieure.
(On supposera n 2.)
Remarquons que A
2 est diagonalisable car elle possède n valeurs propres distinctes.
Le polynôme P =
n
k=1
X
2
− k
=
n
k=1
X −
√
k
X +
√
k
est scindé à racines
simples et annulateur pour A donc A est diagonalisable.
De plus, pour tout i ∈ [[1 , n]], E √
i ( A) ⊕ E −
√
i (A) ⊂ E i (A
2 ) (qui est une droite) et
comme R
n =
n
i=1
E i ( A
2 ) =
n
i=1
⎛
⎜
⎝ E √
i ( A)
droite ou {0}
⊕ E −
√
i (A)
droite ou {0}
⎞
⎟
⎠
On a E √
i (A) ⊕ E −
√
i ( A) = E i ( A
2 ) et soit
√
i soit −
√
i est valeur propre simple
de A.
Revenons au problème des matrices triangulaires.
Soit (e 1 , . . . , e n ) la base canonique de R
n et posons pour tout i ∈ [[1, n]],
F i = Vect(e 1 , . . . , e i ).
Nous pouvons remarquer qu’une matrice M ∈ M n (R) est triangulaire supérieure si
et seulement si pour tout i ∈ [[1 , n − 1]], F i est stable par M.
Pour tout i ∈ [[1, n]], F i = E 1 (A
2 ) ⊕ · · · ⊕ E i (A
2 ) car F i ⊂ E 1 (A
2 ) ⊕ · · · ⊕ E i (A
2 )
(la restriction de A à F i est diagonalisable de valeurs propres {1, . . . , i}) et les deux
sous-espaces ont même dimension.
Comme E √
i ( A) ⊕ E −
√
i (A) = E i ( A
2 ), on a F i =
i
i=1
⎛
⎜
⎝ E √
i (A)
droite ou {0}
⊕ E −
√
i (A)
droite ou {0}
⎞
⎟
⎠
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