2) Montrer que si g est nilpotent, alors T l’est aussi.
Indication de la rédaction : on pourra remarquer que T = G − D avec
G( f ) = f ◦ g et D( f ) = g ◦ f et que G ◦ D = D ◦ G.
3) La réciproque est-elle vraie ?
4) Montrer que si g est diagonalisable, alors T l’est aussi.
Indication de la rédaction : on pourra à nouveau étudier G et D et montrer
qu’ils sont diagonalisables.
1) T est bien une application de L(E) dans lui-même et elle est linéaire car pour tout
(l, m) ∈ R
2 et ( f , h) ∈ (L(E))
2 , on a
T (l f + mh) = (l f + mh) ◦ g − g ◦ (l f + mh)
= l ( f ◦ g − g ◦ f ) + m ( f h ◦ g − g ◦ h) = lT ( f ) + mT (h).
2) Considérons les endomorphismes de L(E) définis par G( f ) = f ◦ g et
D( f ) = g ◦ f . Remarquons que T = G − D, G ◦ D = D ◦ G, G
p ( f ) = f ◦ g
p
et D
p ( f ) = g
p
◦ f pour p ∈ N. Si g est nilpotent avec g
p = 0, alors G
p = 0
et D
p = 0. Comme G et D commutent, T
m =
m
k=0
m
k
(−1)
k D
k G
m−k . En
choisissant m = 2 p − 1 (ou plus), on remarque que pour tout k ∈ [[0 , m]], k p
ou m − k p donc D
k G
m−k = 0, on en déduit que T
m = 0 donc T est bien
nilpotente.
3) La réciproque est fausse, car si g = Id E , alors T = 0 est nilpotente (au sens large)
mais pas g.
4) Si g est diagonalisable, il existe un polynôme P scindé à racines simples tel que
P(g) = 0.
Remarquons qu’alors P(G)( f ) = f ◦ P(g) = 0, de même pour D. Ainsi G et D
sont diagonalisables et comme ils commutent, ils admettent une base commune
de vecteurs propres qui est aussi une base de vecteurs propres de T .
Exercice 7.55
Mines-Ponts MP 2006
Montrer que A et B, deux matrices réelles carrées d’ordre n diagonalisables,
ayant même spectre et telles que pour tout k ∈ N, tr(A
k ) = tr(B
k ) sont semblables.
Notons l 1 , . . . , l p les valeurs propres distinctes de A (et B) et m 1 , . . . , m p et
m
1 , . . . , m
p les ordres de multiplicités respectivement de A et de B. Pour montrer que A et B sont semblables, nous allons démontrer que m i = m
i pour tout
i ∈ [[1, p]].
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