Chap. 7. Réduction des endomorphismes
Pour tout k ∈ N, la relation tr( A
k ) = tr(B
k ) s’écrit
p
i=1
m i l
k
i =
p
i=1
m
i l
k
i .
En faisant varier k de 0 à p − 1, on obtient p égalités qui peuvent se traduire
matriciellement par
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
· · ·
1
l 1
l 2 · · · l p
. . .
. . .
. . .
. . .
l
p−1
1
l
p−1
2
· · · l
p−1
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
m 1
m 2
. . .
m p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
· · ·
1
l 1
l 2 · · · l p
. . .
. . .
. . .
. . .
l
p−1
1
l
p−1
2
· · · l
p−1
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
m
1
m
2
. . .
m
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
La matrice p × p est une matrice de Vandermonde donc est inversible, il en découle
que pour tout k ∈ [[1 , p]], m k = m
k .
Ainsi A et B sont semblables à diag (l 1 , . . . , l 1
m 1 fois
, . . . , l p , . . . , l p
m p fois
) donc semblables
entre elles.
Exercice 7.56
Centrale MP 2007
Soit A ∈ M n (C). Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i ) A est nilpotente ;
ii) A est semblable a une matrice triangulaire dont la diagonale est nulle ;
iii) ∀k ∈ {1, . . . , n}, tr(A
k ) = 0.
Toute matrice A ∈ M n (C) est trigonalisable dans M n (C). Plus précisément, il existe
Q ∈ GL n (C) et T triangulaire supérieure telles que A = QT Q
−1 . En particulier,
pour tout k ∈ N on a A
k = QT
k Q
−1 .
• i) ⇒ ii) Si A est nilpotente, il existe p ∈ N
∗ tel que A
p = 0, et donc
T
p = Q
−1 A
p Q = 0. Soient t 1 , . . . , t n les éléments diagonaux de T . Les éléments
diagonaux de T
p sont alors t
p
1 , . . . , t
p
n . Ainsi T
p = 0 implique t
p
1 = · · · = t
p
n = 0
puis t 1 = · · · = t p = 0. La matrice T est donc triangulaire avec des éléments
diagonaux nuls.
• ii) ⇒ i ) Les valeurs propres de A sont celles de T . Elles sont donc toutes nulles
et le polynôme caractéristique de A est (−1)
n X
n . Le théorème de Cayley-Hamilton
entraîne alors que A
n = 0 et A est nilpotente.
• ii) ⇒ iii) Si les éléments diagonaux de T sont nuls, ceux de T
k sont nuls également et tr(A
k ) = tr(T
k ) = 0.
• iii) ⇒ ii) Supposons que, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on ait tr(A
k ) = 0. Raisonnons par l’absurde et supposons que A admette p valeurs propres distinctes
non nulles l 1 , . . . , l p . En notant m(l ) l’ordre de multiplicité (> 0) de la valeur
propre l pour la matrice T , on aura alors, pour tout k ∈ {1, . . . , n} la relation
tr(A
k ) = tr(T
k ) =
p
=1
m(l )l
k
= 0 . Les nombres m(l 1 ), . . . , m(l p ) sont alors
Pour tout k ∈ N, la relation tr( A
k ) = tr(B
k ) s’écrit
p
i=1
m i l
k
i =
p
i=1
m
i l
k
i .
En faisant varier k de 0 à p − 1, on obtient p égalités qui peuvent se traduire
matriciellement par
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
· · ·
1
l 1
l 2 · · · l p
. . .
. . .
. . .
. . .
l
p−1
1
l
p−1
2
· · · l
p−1
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
m 1
m 2
. . .
m p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
· · ·
1
l 1
l 2 · · · l p
. . .
. . .
. . .
. . .
l
p−1
1
l
p−1
2
· · · l
p−1
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
m
1
m
2
. . .
m
p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
La matrice p × p est une matrice de Vandermonde donc est inversible, il en découle
que pour tout k ∈ [[1 , p]], m k = m
k .
Ainsi A et B sont semblables à diag (l 1 , . . . , l 1
m 1 fois
, . . . , l p , . . . , l p
m p fois
) donc semblables
entre elles.
Exercice 7.56
Centrale MP 2007
Soit A ∈ M n (C). Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i ) A est nilpotente ;
ii) A est semblable a une matrice triangulaire dont la diagonale est nulle ;
iii) ∀k ∈ {1, . . . , n}, tr(A
k ) = 0.
Toute matrice A ∈ M n (C) est trigonalisable dans M n (C). Plus précisément, il existe
Q ∈ GL n (C) et T triangulaire supérieure telles que A = QT Q
−1 . En particulier,
pour tout k ∈ N on a A
k = QT
k Q
−1 .
• i) ⇒ ii) Si A est nilpotente, il existe p ∈ N
∗ tel que A
p = 0, et donc
T
p = Q
−1 A
p Q = 0. Soient t 1 , . . . , t n les éléments diagonaux de T . Les éléments
diagonaux de T
p sont alors t
p
1 , . . . , t
p
n . Ainsi T
p = 0 implique t
p
1 = · · · = t
p
n = 0
puis t 1 = · · · = t p = 0. La matrice T est donc triangulaire avec des éléments
diagonaux nuls.
• ii) ⇒ i ) Les valeurs propres de A sont celles de T . Elles sont donc toutes nulles
et le polynôme caractéristique de A est (−1)
n X
n . Le théorème de Cayley-Hamilton
entraîne alors que A
n = 0 et A est nilpotente.
• ii) ⇒ iii) Si les éléments diagonaux de T sont nuls, ceux de T
k sont nuls également et tr(A
k ) = tr(T
k ) = 0.
• iii) ⇒ ii) Supposons que, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on ait tr(A
k ) = 0. Raisonnons par l’absurde et supposons que A admette p valeurs propres distinctes
non nulles l 1 , . . . , l p . En notant m(l ) l’ordre de multiplicité (> 0) de la valeur
propre l pour la matrice T , on aura alors, pour tout k ∈ {1, . . . , n} la relation
tr(A
k ) = tr(T
k ) =
p
=1
m(l )l
k
= 0 . Les nombres m(l 1 ), . . . , m(l p ) sont alors