Chap. 7. Réduction des endomorphismes
L’endomorphisme f est diagonalisable si et seulement si il existe il existe un
polynôme P scindé à racine simple tel que P( f ) = 0. Comme P(F) = P( f ) cette
condition est réalisée si et seulement si l’endomorphisme F est diagonalisable.
2) Montrons que v est un vecteur propre de F associé à la valeur propre l si et
seulement si Im v ⊂ Ker( f − l Id E ).
• Soit v un vecteur propre de F associé à la valeur propre l. Puisque v = 0, on a
Im v = {0 E }. Soit y un vecteur non nul de Im v. Il existe x non nul dans E tel que
v(x) = y. On a alors f (y) = f ◦v(x) = lv(x) = ly, et donc ( f −l Id E )(y) = 0 E ,
d’où l’inclusion Im v ⊂ Ker( f − l Id E ).
• Supposons que Im v ⊂ Ker( f − l Id E ). Pour tout x ∈ E, on a v(x) ∈ Im v et
donc f (v(x)) = lv(x). Ainsi f ◦ v = lv et v est un vecteur propre de F associé
à la valeur propre l.
3) Soit l une valeur propre de F associé à v et soit k la dimension de Ker( f −l Id E ).
Introduisons une base B l = (e 1 , . . . , e k ) de Ker( f − l Id E ) et complétons cette
base par n − k vecteurs notés e k+1 , . . . , e n pour obtenir la base B = (e 1 , . . . , e n )
de E. Comme Im v ⊂ Ker( f − l Id E ), pour tout ∈ {0, . . . , n}, on a
v(e ) ∈ Ker( f − l Id E ). Il en résulte que v est un vecteur propre de F si et
seulement si la matrice de v dans la base B est de la forme
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
m 11 . . . m 1n
. . .
. . .
m k1 . . . m kn
0 . . . 0
. . .
. . .
0 . . . 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Le sous-espace propre de F associé à la valeur propre l est donc isomorphe à
l’espace vectoriel M k,n (R). Il est donc de dimension nk.
4) Cherchons le polynôme caractéristique de F. Soit B = (e 1 , . . . , e n ) une
base de E et soit M la matrice de f dans la base B. On considère la base
B L(E) = (u 11 , . . . , u n1 , u 12 , . . . , u n2 , . . . , u 1n , . . . , u nn ), où u i j est l’endomorphisme de E défini sur la base B par u i j (e j ) = e i et u i j (e k ) = 0 si k = j. En
écrivant la matrice de F dans la base B L(E) on obtient une matrice M diagonale
par blocs, dont les éléments diagonaux sont formés de n matrices M. On en déduit
que det(M − lI n 2 ) = det(M − lI n )
n .
Exercice 7.54
Mines-Ponts MP 2005, Centrale PC 2006, Polytechnique MP 2005
Soient E un espace vectoriel sur C de dimension finie n et g un endomorphisme
de E.
1) Montrer que l’application T définie sur L(E) par T ( f ) = f ◦ g − g ◦ f est
un endomorphisme.
L’endomorphisme f est diagonalisable si et seulement si il existe il existe un
polynôme P scindé à racine simple tel que P( f ) = 0. Comme P(F) = P( f ) cette
condition est réalisée si et seulement si l’endomorphisme F est diagonalisable.
2) Montrons que v est un vecteur propre de F associé à la valeur propre l si et
seulement si Im v ⊂ Ker( f − l Id E ).
• Soit v un vecteur propre de F associé à la valeur propre l. Puisque v = 0, on a
Im v = {0 E }. Soit y un vecteur non nul de Im v. Il existe x non nul dans E tel que
v(x) = y. On a alors f (y) = f ◦v(x) = lv(x) = ly, et donc ( f −l Id E )(y) = 0 E ,
d’où l’inclusion Im v ⊂ Ker( f − l Id E ).
• Supposons que Im v ⊂ Ker( f − l Id E ). Pour tout x ∈ E, on a v(x) ∈ Im v et
donc f (v(x)) = lv(x). Ainsi f ◦ v = lv et v est un vecteur propre de F associé
à la valeur propre l.
3) Soit l une valeur propre de F associé à v et soit k la dimension de Ker( f −l Id E ).
Introduisons une base B l = (e 1 , . . . , e k ) de Ker( f − l Id E ) et complétons cette
base par n − k vecteurs notés e k+1 , . . . , e n pour obtenir la base B = (e 1 , . . . , e n )
de E. Comme Im v ⊂ Ker( f − l Id E ), pour tout ∈ {0, . . . , n}, on a
v(e ) ∈ Ker( f − l Id E ). Il en résulte que v est un vecteur propre de F si et
seulement si la matrice de v dans la base B est de la forme
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
m 11 . . . m 1n
. . .
. . .
m k1 . . . m kn
0 . . . 0
. . .
. . .
0 . . . 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
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⎠
.
Le sous-espace propre de F associé à la valeur propre l est donc isomorphe à
l’espace vectoriel M k,n (R). Il est donc de dimension nk.
4) Cherchons le polynôme caractéristique de F. Soit B = (e 1 , . . . , e n ) une
base de E et soit M la matrice de f dans la base B. On considère la base
B L(E) = (u 11 , . . . , u n1 , u 12 , . . . , u n2 , . . . , u 1n , . . . , u nn ), où u i j est l’endomorphisme de E défini sur la base B par u i j (e j ) = e i et u i j (e k ) = 0 si k = j. En
écrivant la matrice de F dans la base B L(E) on obtient une matrice M diagonale
par blocs, dont les éléments diagonaux sont formés de n matrices M. On en déduit
que det(M − lI n 2 ) = det(M − lI n )
n .
Exercice 7.54
Mines-Ponts MP 2005, Centrale PC 2006, Polytechnique MP 2005
Soient E un espace vectoriel sur C de dimension finie n et g un endomorphisme
de E.
1) Montrer que l’application T définie sur L(E) par T ( f ) = f ◦ g − g ◦ f est
un endomorphisme.