Un théorème important du cours nous permet d’affirmer que R[X ] = B·R[X ]⊕R n [X ].
Comme de plus, R n [X ] = Vect(L 1 , . . . , L n ),
L 1 , . . . , L n , B, X B, X
2 B, X
3 B · · ·
est une base de R [X ] formée de vecteurs
propre de F.
Exercice 7.51
Mines-Ponts MP 2007 Ã
Soient A et B deux matrices dans M n (R) diagonalisables.
1) Montrer l’existence de P ∈ R[X ] tel que exp( A) = P(A).
2) On suppose que exp A = exp B. Montrer que A = B.
Nous renvoyons le lecteur au chapitre « Espaces vectoriels normés » du livre d’Analyse pour la définition et les propriétés de l’exponentielle de matrice. Nous utiliserons
ici les résultats suivants : si A ∈ M n (R), alors
a) les matrices A et exp( A) commutent,
b) si l est une valeur propre de A, et si x est un vecteur propre associé, alors
exp( A)·x = e
l x,
c) pour toute matrice inversible Q, exp(Q
−1 AQ) = Q
−1 exp( A)Q,
d) si A = diag(l 1 , . . . , l n ), alors exp(A) = diag(e
l 1 , . . . , e
l n ).
1) Puisque A est diagonalisable, il existe une matrice inversible Q et une matrice
diagonale D = diag(l 1 , . . . , l n ) telles que A = Q D Q
−1 . Soient m 1 , . . . , m p les
valeurs propres distinctes de A et soit P un polynôme d’interpolation de Lagrange
tel que P(m j ) = e
m j pour tout j ∈ [[1, p]]. Puisque les l i sont les valeurs propres
de A, on a aussi P(l i ) = e
l i pour tout i ∈ [[1, n]] et on a donc P(D) = exp(D). Il
en résulte que exp( A) = Q exp(D)Q
−1 = Q P(D)Q
−1 = P(Q D Q
−1 ) = P(A).
2) Pour tout j ∈ [[1, p]] soit E j le sous-espace propre de A associé à la valeur propre
m j , et soit m j sa dimension. Il résulte de la propriété b) que E j est inclus dans
le sous-espace propre E
j associé à la valeur propre e
m j de exp( A). Notons m
j la
dimension de E
j . On a m j m
j , et n =
p
j=1
m j
p
j=1
m
j n. Il en résulte
que m
j = m j , et donc E
j = E j pour tout j ∈ [[1, p]]. En d’autres termes, les
sous-espaces propres de exp(A) coïncident avec ceux de A.
Supposons alors que exp(B) = exp( A).
Comme B commute avec exp(B) = exp( A), les sous-espaces propres de exp( A),
et donc ceux de A, sont stables par l’endomorphisme b canoniquement associé à
B. Pour tout j la restriction de b à E j est diagonalisable, et on peut donc trouver
une base de E j formée de vecteurs propres de B. On en déduit qu’il existe une
base commune de vecteurs propres de A et de B, et donc une matrice inversible Q
telle que Q
−1 AQ = D = diag(l 1 , . . . , l n ) et Q
−1 B Q = D
= diag(l
1 , . . . , l
n ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Comme de plus, R n [X ] = Vect(L 1 , . . . , L n ),
L 1 , . . . , L n , B, X B, X
2 B, X
3 B · · ·
est une base de R [X ] formée de vecteurs
propre de F.
Exercice 7.51
Mines-Ponts MP 2007 Ã
Soient A et B deux matrices dans M n (R) diagonalisables.
1) Montrer l’existence de P ∈ R[X ] tel que exp( A) = P(A).
2) On suppose que exp A = exp B. Montrer que A = B.
Nous renvoyons le lecteur au chapitre « Espaces vectoriels normés » du livre d’Analyse pour la définition et les propriétés de l’exponentielle de matrice. Nous utiliserons
ici les résultats suivants : si A ∈ M n (R), alors
a) les matrices A et exp( A) commutent,
b) si l est une valeur propre de A, et si x est un vecteur propre associé, alors
exp( A)·x = e
l x,
c) pour toute matrice inversible Q, exp(Q
−1 AQ) = Q
−1 exp( A)Q,
d) si A = diag(l 1 , . . . , l n ), alors exp(A) = diag(e
l 1 , . . . , e
l n ).
1) Puisque A est diagonalisable, il existe une matrice inversible Q et une matrice
diagonale D = diag(l 1 , . . . , l n ) telles que A = Q D Q
−1 . Soient m 1 , . . . , m p les
valeurs propres distinctes de A et soit P un polynôme d’interpolation de Lagrange
tel que P(m j ) = e
m j pour tout j ∈ [[1, p]]. Puisque les l i sont les valeurs propres
de A, on a aussi P(l i ) = e
l i pour tout i ∈ [[1, n]] et on a donc P(D) = exp(D). Il
en résulte que exp( A) = Q exp(D)Q
−1 = Q P(D)Q
−1 = P(Q D Q
−1 ) = P(A).
2) Pour tout j ∈ [[1, p]] soit E j le sous-espace propre de A associé à la valeur propre
m j , et soit m j sa dimension. Il résulte de la propriété b) que E j est inclus dans
le sous-espace propre E
j associé à la valeur propre e
m j de exp( A). Notons m
j la
dimension de E
j . On a m j m
j , et n =
p
j=1
m j
p
j=1
m
j n. Il en résulte
que m
j = m j , et donc E
j = E j pour tout j ∈ [[1, p]]. En d’autres termes, les
sous-espaces propres de exp(A) coïncident avec ceux de A.
Supposons alors que exp(B) = exp( A).
Comme B commute avec exp(B) = exp( A), les sous-espaces propres de exp( A),
et donc ceux de A, sont stables par l’endomorphisme b canoniquement associé à
B. Pour tout j la restriction de b à E j est diagonalisable, et on peut donc trouver
une base de E j formée de vecteurs propres de B. On en déduit qu’il existe une
base commune de vecteurs propres de A et de B, et donc une matrice inversible Q
telle que Q
−1 AQ = D = diag(l 1 , . . . , l n ) et Q
−1 B Q = D
= diag(l
1 , . . . , l
n ).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit