Chap. 7. Réduction des endomorphismes
La relation exp( A) = exp(B) entraîne exp(D) = exp(D
), et on a donc e
l i = e
l
i
pour tout i . On en déduit que l i = l
i et donc D = D
, puis A = B.
Exercice 7.52
Mines-Ponts MP 2007
Soit A = (a i, j ) 1i, jn ∈ M n (R) telle que ∀(i, j) ∈ [[1 , n]]
2 , a i, j ∈ ] 0, 1 [ et
∀i ∈ [[1 , n]],
n
j=1
a i, j = 1.
1) Montrer que | det A| 1.
2) Montrer que 1 est valeur propre de A.
3) Soit b une valeur propre complexe de A. Montrer que |b| 1 et que si |b| = 1,
alors b = 1.
1) Démontrons, par récurrence sur l’entier n ∈ N
∗ , que si B = (b i, j ) 1i, jn ∈ M n (R)
est telle que b i j ∈ [0, 1] et
n
j=1
b i j 1 pour tout i ∈ [[1, n]], alors |det B| 1.
La propriété est évidente si n = 1. Supposons n > 1, et supposons la propriété
démontrée pour les matrices carrées d’ordre n − 1. Pour tout j ∈ [[1, n]] désignons
par B j la matrice carrée d’ordre n − 1 obtenue en supprimant la première ligne et
la j-ième colonne de B. On peut appliquer l’hypothèse de récurrence aux matrices
B j , et on obtient :
| det B| =
n
j=1
(−1)
1+ j b 1 j det B j
n
j=1
b 1 j | det B j |
n
j=1
b 1 j 1.
La propriété est donc vérifiée pour tout n ∈ N
∗ .
2) Posons U =
⎛
⎜
⎝
1
. . .
1
⎞
⎟
⎠ . Les relations ∀i ∈ [[1 , n]],
n
j=1
a i, j = 1 montrent que
AU = U . Donc le réel 1 est valeur propre de A et U est un vecteur propre associé.
3) Soit b ∈ C une valeur propre de A, et soit X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ ∈ M n,1 (C) un vecteur
propre associé. Soit i 0 un indice tel que |x i 0 | |x i | pour tout i ∈ [[1, n]]. On a évidemment x i 0 = 0. La relation AX = bX entraîne en particulier
n
j=1
a i 0 j x j = bx i 0 ,
La relation exp( A) = exp(B) entraîne exp(D) = exp(D
), et on a donc e
l i = e
l
i
pour tout i . On en déduit que l i = l
i et donc D = D
, puis A = B.
Exercice 7.52
Mines-Ponts MP 2007
Soit A = (a i, j ) 1i, jn ∈ M n (R) telle que ∀(i, j) ∈ [[1 , n]]
2 , a i, j ∈ ] 0, 1 [ et
∀i ∈ [[1 , n]],
n
j=1
a i, j = 1.
1) Montrer que | det A| 1.
2) Montrer que 1 est valeur propre de A.
3) Soit b une valeur propre complexe de A. Montrer que |b| 1 et que si |b| = 1,
alors b = 1.
1) Démontrons, par récurrence sur l’entier n ∈ N
∗ , que si B = (b i, j ) 1i, jn ∈ M n (R)
est telle que b i j ∈ [0, 1] et
n
j=1
b i j 1 pour tout i ∈ [[1, n]], alors |det B| 1.
La propriété est évidente si n = 1. Supposons n > 1, et supposons la propriété
démontrée pour les matrices carrées d’ordre n − 1. Pour tout j ∈ [[1, n]] désignons
par B j la matrice carrée d’ordre n − 1 obtenue en supprimant la première ligne et
la j-ième colonne de B. On peut appliquer l’hypothèse de récurrence aux matrices
B j , et on obtient :
| det B| =
n
j=1
(−1)
1+ j b 1 j det B j
n
j=1
b 1 j | det B j |
n
j=1
b 1 j 1.
La propriété est donc vérifiée pour tout n ∈ N
∗ .
2) Posons U =
⎛
⎜
⎝
1
. . .
1
⎞
⎟
⎠ . Les relations ∀i ∈ [[1 , n]],
n
j=1
a i, j = 1 montrent que
AU = U . Donc le réel 1 est valeur propre de A et U est un vecteur propre associé.
3) Soit b ∈ C une valeur propre de A, et soit X =
⎛
⎜
⎝
x 1
. . .
x n
⎞
⎟
⎠ ∈ M n,1 (C) un vecteur
propre associé. Soit i 0 un indice tel que |x i 0 | |x i | pour tout i ∈ [[1, n]]. On a évidemment x i 0 = 0. La relation AX = bX entraîne en particulier
n
j=1
a i 0 j x j = bx i 0 ,